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Uniones e intersecciones de abiertos y cerrados

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En este video comenzaremos mostrando ejemplos que clarifiquen por qué abierto no es lo contrario a cerrado, es decir, mostraremos ejemplos de conjuntos que son abiertos y cerrados,  y conjuntos que no son ni abiertos ni cerrados. Es fácil ver que el plano complejo y el conjunto vacío son abiertos y cerrados, y que una arandela que tenga su frontera externa  pero no su interna nos ayuda a ilustrar los conjuntos que no son abiertos ni cerrados, más precisamente  el conjunto de los números complejos que tengan módulo mayor que 2 pero menor o igual a 3 es un conjunto que no es abierto ni cerrado.
Luego de esos ejemplos mostraremos cuatro teoremas que nos dirán qué se puede decir  acerca de las uniones e intersecciones de abiertos y cerrados.
El primer teorema nos dice que la unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto, sin importar la cantidad de conjuntos que se unan.
El segundo teorema nos dice que la intersección finita de  conjuntos abiertos es un  conjunto abierto. En el caso de la intersección sí importa el número de conjuntos, ya que como veremos por medio de un ejemplo, la intersección infinita de conjuntos abiertos nos puede dar un conjunto cerrado.
Análogos a estos dos teoremas para conjuntos abiertos tenemos dos teoremas para conjuntos cerrados que son los siguientes:
El primero es que la intersección arbitraria de conjuntos cerrados es  un conjunto cerrado, sin importar la cantidad de conjuntos que se intersequen.
El segundo dice que la unión finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. En el caso de la unión de conjuntos cerrados sí importa el número de conjuntos que se unan, ya que como veremos en un ejemplo la unión infinita de conjuntos cerrados nos puede dar un conjunto abierto, por ejemplo tome un conjunto abierto y considéralo como la unión de los conjuntos correspondientes a cada uno de sus puntos, estos conjuntos de un punto son cerrados pero su unión es un conjunto abierto.
De estos teoremas haremos bosquejos de pruebas y no seremos muy formales para dar su demostración, ya que para nuestro cometido en este curso no son tan necesarias.
 
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