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Raíces de un número complejo (Demostración)

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En este video mostraremos de forma intuitiva cómo definiremos las raíces de un número complejo. Se realizará un procedimiento de tipo esbozo de lo que sería un prueba formal, pero teniendo en cuenta detalles que pueden servir a la hora de la solución de problemas. Lo primero que haremos es definir la raíz de un número complejo z_0 como un número complejo z tal que z a la n es igual a z_0. Luego escribiremos tanto z como z_0 en forma polar. Posteriormente haremos z a la n como lo aprendimos en el video anterior e igualamos el resultado con z_0. Ahora, dado que esos dos número complejos son iguales deben tener el mismo módulo, calculando el módulo de z a la n obtenemos que su módulo es igual al módulo de z a la n, igualamos con el módulo de z_0 y obtenemos que el módulo de z es igual a la raíz n-ésima de z_0.
Ahora, la parte real y la parte imaginaria de los números debe ser igual también por lo tanto tenemos que coseno de n veces el argumento de z es igual a cos del argumento de z_0, por lo tanto obtenemos aplicando coseno inverso que el argumento de z es igual a un medio del argumento de z_0 más 2 pi por k, donde k es un número entero;  en este caso tendríamos infinitas posibilidades para el argumento de z pero  veremos que los únicos valores de k que nos dan valores diferentes para el argumento son los k comprendido entre 0 y n-1 incluyendo los dos extremos. Siendo así concluimos la construcción de la raíz de un número que como vemos consiste de n números diferentes los cuales están dados por su módulo igual a la raíz n-ésima del número complejo y su argumento está dado por un medio del argumento del número por 2 *pi* k  donde k varía entre 0 y n-1.
 
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