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Parte real e imaginaria de un límite

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En este video mostraremos que un límite complejo se puede hallar simplemente hallando dos límites reales. Esto lo haremos de la siguiente manera: como ya sabemos de videos anteriores, una función compleja la puedo escribir como la suma de dos funciones de dos variables reales que llamamos la parte real de la función y la parte imaginaria. Ahora, si queremos calcular el límite cuando z tiende a z_0 de f(z) solo debemos calcular cada uno de los límites de u (la parte real de f) y v (la parte imaginaria de f) cuando (x,y) tienda a (x_0,y_0), a estos dos los llamamos parte real y parte imaginaria del límite respectivamente.
Ahora vista la parte intuitiva nos disponemos a probar el teorema que nos habla acerca del cálculo de límites de funciones de variable compleja que reza así: Considerando z = x+yi, z_o = z_0 + iy_o y w_0=u_0 +iv_o,  el límite cuando z tiende a z_o de f(z) es igual a w_0, si y solo si, el límite cuando (x,y) tienda a (x_0, y_0) de u(x,y) es igual a u_0 y el límite cuando (x,y) tienda a (x_0, y_0) de v(x,y) es igual a v_0.
Se hará la prueba de este hecho, para que formalmente quede claro lo expresado. Esto se hará recurriendo a la manera usual de hacer pruebas de doble implicación, es decir, probando primero una implicación y luego la otra. Para la prueba nos ayudaremos de ciertas propiedades del módulo y el uso de algunos trucos que serán útiles ya que son bastante usados a la hora de probar límites y que ya deben ser conocidos del cálculo diferencial.
En este video no se harán ejemplos de lo demostrado, sin embargo  el próximo video está totalmente destinado a hacer  ejemplos que ilustran lo mostrado aquí, es decir,  calcular límites de funciones complejas por medio del cálculo de límites de dos variables reales.
 

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