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Límite del cociente de funciones

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En este video mostraremos la prueba de la cuarta propiedad de los límites complejos y es que el límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de los límites de las funciones, siempre y cuando el límite de la función del denominador sea diferente de cero.
Esto lo haremos diferente a como se hace en la mayoría de los libros, es decir, no usaremos la definición de límite para probar esta propiedad ya que sería una prueba idéntica  a la que ya se tiene de esta propiedad en el caso de funciones de variables reales, sin embargo en el taller de este tema pueden ver que se encuentra realizar la prueba por la definición de límite, esto con el fin de que si aún no tienes clara la prueba con el uso de la definición de límites, vayas a un libro o lo pienses y realices.
En este video realizaremos la prueba de este hecho usando la propiedad de poder escribir el límite como una parte real y una imaginaria, y usaremos la propiedades que se tienen de los límites de dos variables reales.
Por lo tanto, lo que haremos es considerar el límite de 1 sobre una función compleja tal que el límite de esa función es diferente de cero y ver que ese límite es justamente 1 sobre el límite de la función. Para esto cambiaremos la función por su parte real y su parte imaginaria u(x,y) y v(x,y), después multiplicaremos y dividiremos por su conjugado para que de esta manera podamos tener funciones reales y llevar esta función a su parte real e imaginaria. Luego de tener esto procederemos a aplicar el teorema de límites complejos, llevando el límite complejo a dos límites de dos variables reales  y como ya conocemos del cálculo de varias variables el límite distribuye con respecto a la suma,  a la resta, al producto y al cociente  de funciones siempre y cuando los límites existan y el límite del denominador sea diferente de cero,  usaremos esto y luego por medio de operaciones algebraicas llevaremos el resultado obtenido al resultado que deseamos, pasando de nuevo por el teorema que nos permite convertir ahora dos límites de dos variables reales en un límite complejo.
Para concluir la prueba del cociente de funciones, usamos la propiedad del producto probada en el video anterior.
 
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