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Definición de límite

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En este video definiremos el concepto de límite , esta definición es similar a la que tenemos para los números reales sin embargo no tendremos valor absoluto sino el módulo. En palabras más formales, diremos que dado un número z_o diremos que un número w_o es el límite de f cuando z tiende a z_0 si dado cualquier e>o es posible encontrar un número d>0 tal que se satisfaga que
0 < |z - z_0|<d implica que |f(z) - w_o|<e. Usaremos la notación usual de límite para denotar lo dicho anteriormente.
A la definición anterior podemos darle un sentido geométrico y es el siguiente: para cada vecindad de centro w_o y radio e podemos encontrar una vecindad de centro z_o y radio d tal que si tomo un z en la vecindad de z_o y radio d, su imagen f(z) va estar en la vecindad de centro w_o y radio e. En otras palabras,  si tomamos valores de z cercanos a z_0, sus imágenes f(z) van a estar próximas a w_o.
Además de dar la definición de límite que como lo mencionamos anteriormente es similar a la tenida para números reales probaremos una propiedad muy importante del límite, su unicidad. Para lograr esto recurriremos a una prueba similar a la hecha para la unicidad del límite en funciones reales y es realizar el siguiente procedimiento: primero tomar dos valores diferentes que toma el límite. Luego, tomando un e>0 arbitrario aplicamos las definiciones del límite respectivas a cada límite con e/2, de donde obtenemos d1 y d2 tales que se cumple la propiedad del límite. Ahora tomando d el mínimo de esos dos valores, obtenemos que se van a cumplir las dos propiedades de cada límite. Finalmente tomamos la norma de la  resta de los dos límites diferentes y sumando y restando términos adecuados y aplicando la desigualdad triangular obtenemos que esa diferencia es igual a cero y por tanto los límites deben ser iguales.
 

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