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Definición de función de variable compleja

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En este video definiremos el concepto de función de variable compleja, que no es más que la adaptación del concepto de función en el campo de los números complejos, es decir, una función compleja es una función con dominio siendo un subconjunto del plano complejo y con rango siendo otro subconjunto del plano complejo. Consideraremos dos planos para hacer un bosquejo en forma de dibujo para la consideración de lo que representa una función. En el primer plano que llamaremos plano z tenemos un conjunto D, luego aplicando una función f nos lleva a otro plano complejo que llamaremos w, donde tendremos un conjunto S que cumple que S = f (D), es decir S es la imagen de D bajo la función f. El uso de estos dos planos nos permite darle una representación gráfica a las funciones de variable compleja ya que no es posible tener una representación de cuatro dimensiones, que sería la necesaria para hacer una analogía a lo hecho con funciones de variable real.
Se darán ejemplos que ilustran la definición. En el primer ejemplo tomaremos la función identidad f(z) = z, esta función como lo sabemos tiene dominio todo el plano complejo y su imagen también es todo el plano complejo. Usaremos el número z = 1+i para mostrar cómo opera la función. En el segundo ejemplo tenemos la función elevar al cuadrado, es decir, la función g (z) = z^2, como veremos esta función también tiene como dominio todo el plano complejo, usaremos el número i para mostrar la manera en que opera la función. El tercer ejemplo es la función raíz cuadrada, este ejemplo nos permite decir algo muy importante y es que en el plano complejo pueden haber funciones  o más bien relaciones que tienen dos imágenes, por lo tanto,  para convertirla en una función hay que optar por una de esas imágenes; en este caso específico un número complejo siempre tiene dos raíces cuadradas por lo tanto debemos tomar solo una de ella, por ejemplo la que corresponda al valor de k=0 en la fórmula de las raíces aprendida en videos anteriores. Por último tenemos la función inverso, que toma un número complejo y lo envía a su inverso, con esta función veremos que su dominio es todo el plano complejo excepto el cero.
De aquí en adelante es necesario tener un conocimiento claro del cálculo de límites de una y dos variables  y de los métodos propios del cálculo diferencial.
 
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