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Definición de continuidad

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En este video definiremos la noción de continuidad en un punto y con ella definiremos lo que entenderemos por una función continua, esta definición es la misma que la que se tenía para el caso de funciones de variable real, es decir, definiremos que una función compleja es continua en un punto si el límite cuando z tiende al punto (que debe estar en el dominio de la función) es igual a la función evaluada en ese punto. Esta definición aunque parece que solo consta de una verificación del límite realmente lleva con ella la verificación de tres cosas: la primera que el punto en el cual miraremos la continuidad debe ser un punto del dominio, la segunda que el límite cuando la variable tiende al punto en el que queremos mirar la continuidad debe de existir y la tercera y última es que el límite debe ser igual a la función evaluada en el punto.
De manera similar a como se define en funciones de variable real, definimos también que una función es continua en un conjunto si es continua en cada uno de los puntos del conjunto.
Mostraremos algunos ejemplos de funciones continuas y discontinuas para aclarar así la definición dada. En el caso de las funciones continuas tenemos cuatro ejemplos. En el primer ejemplo tenemos que la función identidad es continua, en el segundo tenemos que la potencia al cuadrado, es decir, la función que toma un número complejo y lo eleva al cuadrado es un función continua, el tercero que la función conjugado es continua y por último que la función que toma un un número complejo y lo manda a 1 sobre el número también es continua. Para el caso de las funciones discontinuas mostraremos dos ejemplos; uno tiene que ver con una función dada por el cociente de dos funciones en el cuál el punto en que definimos el límite no pertenece al dominio de la función y otro en el que tenemos una función a tramos en la que el límite no coincide con la función evaluada en el punto que realizamos el límite.
 
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