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Conjuntos conexos, compactos y dominios

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En este video siguiendo con las definiciones de las regiones en el plano complejo definiremos tres tipos de conjuntos, los conjuntos conexos, los dominios y los conjuntos compactos. Para cada uno mostraremos ejemplos en los cuales veremos que existen conjuntos de ese tipo y que también hay conjuntos que no están en esas clasificaciones.
Un conjunto se llama conexo si cada dos puntos del conjunto se pueden unir por finitos segmentos de recta que están totalmente contenidos en el conjunto. También podemos dar otra definición análoga y es que un conjunto es conexo si no existen dos subconjuntos tal que la intersección es vacía y la unión es todo el conjunto. Esto nos da una noción intuitiva de lo que representa un conjunto conexo, un conjunto que está totalmente unido o pegado. Mostraremos por medio de ejemplos visuales a qué nos referimos con la segunda definición, y aclararemos lo que significa ser conexo.
Un conjunto diferente del vacío es un dominio si al mismo tiempo es abierto y conexo. Veremos con ejemplos que el conjunto de los números complejo con parte real mayor que cero y parte imaginaria menor que cero es conexo y, además, el conjunto de los números complejos con módulo menor o igual a 2 no es un dominio, pues no es abierto.
Un conjunto se dice compacto si es cerrado y acotado. Mostraremos tres ejemplos de cómo ver si un conjunto es compacto. En el primero mostraremos que el conjunto de los números complejos con módulo entre 1 y 2 no es compacto, ya que no es cerrado. En el segundo ejemplo mostraremos que el conjunto de los números reales con parte real mayor o igual a cero no es compacto pues no es acotado y, por último, mostraremos que el conjunto de los números reales con norma menor o igual a 2 es compacto.
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