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Lección 44

Solución de una ecuación trigonométrica ejemplo 9

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Noveno ejemplo de como solucionar una ecuación trigonométrica. La ecuación cosecante de x más cotangente de x igual a raíz cuadrada de 3 En este caso convertimos toda la ecuación en términos de la función coseno de x tras usar algunas identidades trigonométricas básicas y elevar al cuadrado la ecuación, lo que trae consigo la necesidad de verificar si las soluciones encontradas al final si cumplen con la ecuación. La ecuación en términos de coseno se transforma mediante la sutitución z= cosx formándose una ecuación cuadrática que se soluciona mediante factorización. Una de las soluciones no sirve encontradas como se ve en el video no sirve y la otra genera un coseno de un ángulo que encontramos mediante el coseno inverso. Dado que la calculadora solo nos da un resultado para el coseno inverso entonces debemos usar el concepto de circunferencia unitaria para encontrar el otro ángulo cuyo coseno es igual. En este video veremos la solución de un ejercicio propuesto de una ecuación trigonométrica. El ejercicio planteado es el siguiente: Para qué valores de equis entre 0 y 360° se cumple la siguiente ecuación: cosecante de equis mas cotangente de equis es igual a raíz de tres. Lo primero que debemos hacer es poner la ecuación trigonométrica en términos de una sola variable por lo que pondremos la cosecante y la cotangente en función del seno y del coseno. Como, vemos al hacer estos reemplazos la ecuación trigonométrica adquiere la siguiente forma: uno más coseno de equis es igual a raíz de tres que multiplica a seno de equis. Para simplificar aun más la ecuación elevamos al cuadrado a cada término de la ecuación con el fin de utilizar la identidad trigonométrica fundamental y además expresamos el seno en términos de coseno, luego de realizar alguna operación algebraicas y simplificar, la ecuación trigonométrica queda expresada de las siguiente manera: cuatro que multiplica a coseno de equis cuadrado, más dos coseno de equis, menos dos es igual a cero. Una vez este toda la ecuación en términos de una sola variable es recomendable convertir la ecuación trigonométrica en una ecuación algebraica, esto se logra llamando al coseno de equis como Z, entonces la ecuación queda como: 4Z^2+2Z-2=0. Como vemos esta es una ecuación cuadrática que se puede resolver por la fórmula general o factorizando. En este caso después de factorizar la expresión vemos que las raíces de Z obtiene los valores -1,1/2 y como habíamos llamado Z=cosx vemos que las posibles respuestas son que x es coseno inverso de -1 o equis es igual a coseno inverso de 1/2. En una calculadora podemos hallar la solución metiendo cada uno de estos dos números y aplicando la tecla coseno inverso, como vemos para el coseno inverso de -1 la calculadora señala un ángulo de 180° grados y al hallar el coseno inverso de 1/2 la calculadora nos sugiere un ángulo 60° grados.Vemos que la solución de 180° grados no es probable debido a que el seno no puede tomar este valor ya que la cosecante quedaría indefinida.
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