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Lección 41

Solución de una ecuación trigonométrica ejemplo 6

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Sexto ejemplo de como solucionar una ecuación trigonométrica. La ecuación 4 coseno al cuadrado de x menos, 2 que multiplica a uno más raíz de dos por uno sobre secante de x, más raíz de dos. Se convierte primero toda la ecuación a una equivalente donde solo aparece la función coseno. Luego se hace una sustitución donde z es coseno de x para formar una ecuación algebraica en z con 2 soluciones que serán precisamente el coseno de x. Solo nos resta encontrar los cosenos inversos para solucionar finalmente la ecuación que debía solucionarse entre 0 y 90 grados En este video veremos la solución de un ejercicio propuesto de una ecuación trigonométrica. El ejercicio planteado es el siguiente: Para qué valores de equis entre 0 y 90° grados se cumple la siguiente ecuación: cuatro por coseno cuadrado de equis, menos dos que multiplica a uno más raíz de dos, por uno sobre secante de equis, más raíz de dos igual a cero. Lo primero que debemos hacer es poner la ecuación trigonométrica en términos de una sola variable, en este problema trasformaremos la secante en términos de coseno, para ello, utilizaremos la identidad trigonométrica la cual dice que la secante es el inverso multiplicativo del coseno, reemplazando esta identidad trigonométrica en la ecuación queda todo en términos de coseno y simplificando la ecuación trigonométrica adquiere la siguiente forma: cuatro por coseno cuadrado de equis, menos dos que multiplica a uno más raíz de dos, por coseno de equis, más raíz de dos igual a cero. . Una vez este toda la ecuación en términos de una sola variable es recomendable convertir la ecuación trigonométrica en una ecuación algebraica, esto se logra llamando al coseno de equis como Z, entonces la ecuación queda como: 4Z^2-2(1+√(2)) Z+√2=0, como vemos esta es una ecuación cuadrática que se puede resolver por la fórmula general o factorizando. En este caso después de factorizar la expresión vemos que las raíces de Z obtiene los valores √2/2 ,1/2 y como habíamos llamado Z=cosx vemos que las posibles respuestas son que x es coseno inverso de √2/2 o equis es igual a coseno inverso de 1/2. En una calculadora podemos hallar la solución metiendo cada uno de estos dos números y aplicando la tecla coseno inverso, como vemos para el coseno inverso de √2/2 la calculadora señala un ángulo de 45° grados y al hallar el coseno inverso de 1/2 la calculadora nos sugiere un ángulo 60° grados.
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