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Lección 97

Identidades trigonométricas complejas ejemplo 9

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Noveno ejemplo de como resolver (demostrar) una identidad trigonométrica compleja. Se debe recordar que llamamos compleja a esta identidad ya que el ángulo no se expresa solo en su forma más simple, sino que también se encuentra multiplicado por un número (2 y 4 en este caso, teniéndose un ángulo doble y uno cuádruple) Este tipo de identidades no se demuestran solo usando la identidades trigonométricas fundamentales En este video hablaremos sobre la deducción y solución de identidades trigonométricas complejas. El término de identidad trigonométrica compleja no quiere indicar que la identidad posea un grado de dificultad alto sino que el ángulo de la función no se expresa en su forma más simple, por ello pueden verse problemas en los que se vean involucrados diferentes tipos de ángulos en sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Este tipo de identidades no se demuestran sólo usando las identidades trigonométricas fundamentales y vemos que su solución posee un grado de dificultad mayor que las identidades que habíamos demostrado anteriormente. Recordemos que cuando nos piden demostrar la igualdad en una identidad debemos decir que un lado de la ecuación es equivalente al otro lado, además que no existe un técnica particular para empezar a resolver la identidad y que depende más de la habilidad y la experiencia que tenga la persona que está resolviendo el problema más que de un procedimiento claramente definido. En este video resolveremos el siguiente ejemplo: Demostrar la siguiente identidad: seno a la cuatro de equis es igual a un cuarto que multiplica a uno menos dos coseno de dos equis más la división entre uno más coseno de cuatro equis sobre dos sen^4x=(1-2cos2x+(1+cos4x)/2), vemos que el término de la izquierda es lo mismo que tener seno al cuadrado de equis al cuadrado o tener uno menos coseno cuadrado de equis elevado al cuadrado sen^4x=(sen^2x)^2=(1-cos^2x)^2, así que si resolvemos la parte derecha de la identidad y llegamos a esta expresión la identidad quedaría comprobada. Desarrollando todos los ángulos dobles del lado derecho de la ecuación la identidad adquiere la forma: sen^4x=1/4(1+2(cos^2 -sen^2x)+1/2+(cos^22x-sen^22x)/2), si pasamos todo en términos de coseno y aplicamos de nuevo las identidades para el ángulo doble vemos que la identidad adquiere la siguiente forma: sen^4x= 1/4(2-4cos^2x+(2cos^2x-1)^2,si resolvemos las operaciones del lado derecho y realizamos la multiplicación por un cuarto vemos que el lado derecho pasa a ser un trinomio cuadrado perfecto así: sen^4x=1-2cos^2x+cos^4x. Al efectuar este trinomio cuadrado perfecto vemos que la identidad queda demostrada ya que sen^4x=(sen^2x)^2=(1-cos^2x)^2.
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