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Lección 18

Identidad trigonométrica fundamental (Demostración)

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Introducción y demostración de la identidad trigonométrica fundamental seno al cuadrado más coseno al cuadrado igual a uno. Se establece una diferencia entre igualdad e identidad para luego hacer uso del teorema de pitágoras y a partir de allí demostrar la identidad fundamental de la trigonometría. En la última parte del video se muestran dos identidades adicionales que se desprenden de forma inmediata de la identidad fundamental En este video se mostrará la deducción y demostración de la identidad trigonométrica fundamental. Alguna personas confunden el término igualdad con el término identidad, aunque son conceptos similares se diferencian entre si, ya que en una igualdad solo una gama o grupo de valores de la variable pueden hacer cumplir la ecuación, en cambio en la identidad la ecuación se cumple para cualquier valor que se le da a la variable. La identidad trigonométrica fundamental es la siguiente:sen^ α+cos^2α=1, se le llama identidad trigonométrica fundamental debido a que, como se verá más adelante, a partir de ella se deducen una gran cantidad de otras identidades trigonométricas. Para la demostración de esta identidad se parte de un triángulo rectángulo contenido en la circunferencia unitaria y como se vio en los videos anteriores el seno y el coseno se definen de la siguiente manera: El seno se define como la razón entre el valor de la coordenada Y del segmento que forma el ángulo con el eje x y la magnitud de dicho segmento. El coseno es la razón entre el valor de la coordenada X del segmento que forma el ángulo con el eje x y la magnitud del segmento. Con base en las definiciones anteriores tenemos que senα= y/r y cosα=x/r, además, aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo inscrito en la circunferencia unitaria tenemos que: x^2+y^2=r^2, si despejamos la x y la y de las funciones seno y coseno respectivamente y las reemplazamos en la ecuación obtenida aplicando el teorema de Pitágoras tenemos: x=rcosα, y=rsenα, entonces r^2 cos^2α+r^2 sen^2α=r^2, que es lo mismo que sen^2α+cos^2α=1 y queríamos demostrar.
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