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Lección 87

Identidad para la suma de cosenos

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Deducción de una fórmula o identidad para la suma de coseno de A y coseno de B. Se muestra como dicha suma de cosenos se puede expresar como un producto (es por ello que se considera una de las cuatro fórmulas del factor) partiendo de la fórmula del producto para cosenos de ángulos distintos En este video vamos a deducir las expresiones para representar la suma de coseno de A más coseno de B. Para representar esta suma partiremos de una identidad que habíamos demostrado en los videos anteriores y que contiene el término que queremos despejar, esta identidad es la multiplicación del coseno de alfa por coseno de beta cosαcosβ=(cos(α+β)+cos(α-β))/2, ya que si llamamos a la suma interna de alfa más beta como A y a la resta interna de alfa menos beta como B podemos comenzar a construir la expresión a la cual se quiere llegar. Al hacer estas sustituciones vemos que la expresión se transforma de la siguiente manera: 2cosαcosβ=cosA+cosB y vemos que lo único que falta es expresar a alfa y a beta en términos de A y B, como habíamos visto A era la suma de alfa más beta y B era la resta de alfa menos beta que es lo mismo que tener un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolviendo este sistema por cualquiera de los métodos conocidos como la eliminación vemos que alfa es igual a la suma de A y B sobre dos y beta es igual a la resta de Ay B sobre dos, esto es α=(A+B)/2 y β=(A-B)/2, reemplazando estos valores en la expresión anterior vemos que el coseno de A más el coseno de B es igual a dos que multiplica el producto entre coseno de A más B sobre dos y el coseno de A menos B sobre dos, matemáticamente: 2[cos((A+B)/2)cos((A-B)/2) ]=senA+senB. En el video se muestra de manera más detallada cada uno de los pasos para llegar a la demostración de esta identidad.
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