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Lección 88

Identidad para la diferencia de cosenos

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Deducción de una fórmula o identidad para la diferencia (resta) de coseno de A y coseno de B. Se muestra como dicha resta de csenos se puede expresar como un producto (es por ello que se considera una de las cuatro fórmulas del factor) partiendo de la fórmula del producto de los senos de ángulos distintos En este video vamos a deducir las expresiones para representar la resta de coseno de A menos coseno de B. Para representar esta resta partiremos de una identidad que habíamos demostrado en los videos anteriores y que contiene el término que queremos despejar, esta identidad es la multiplicación de seno de alfa por seno de beta senαsenβ=(cos(α-β)-cos(α-β))/2, ya que si llamamos a la resta interna de alfa menos beta como A y a la suma interna de alfa más beta como B podemos comenzar a construir la expresión a la cual se quiere llegar. Al hacer estas sustituciones vemos que la expresión se transforma de la siguiente manera: 2senαsenβ=cosA-cosB y vemos que lo único que falta es expresar a alfa y a beta en términos de A y B, como habíamos visto A era la resta de alfa menos beta y B era la suma de alfa más beta que es lo mismo que tener un sistema de ecuaciones de dos ecuaciones con dos incógnitas. Resolviendo este sistema por cualquiera de los métodos conocidos como la eliminación vemos que alfa es igual a la suma de A y B sobre dos y beta es igual a menos la resta de A y B sobre dos, esto es α=(A+B)/2 y β=-(A-B)/2, reemplazando estos valores en la expresión anterior y teniendo en cuenta que la función seno es una función impar por lo que el seno de un ángulo negativo es igual a menos el seno del ángulo anterior vemos que el coseno de A menos el coseno de B es igual a menos dos que multiplica el producto entre coseno de A más B sobre dos y el coseno de A menos B sobre dos, matemáticamente: -2[sen((A+B)/2)sen((A-B)/2) ]=cosA-cosB. En el video se muestra de manera más detallada cada uno de los pasos para llegar a la demostración de esta identidad.
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