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Lección 82

Identidad para el producto de seno por coseno (ángulos distintos)

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Deducción de la identidad para el producto de seno de alfa por coseno de beta. A partir de las fórmulas (identidades) para el seno de la suma y resta de dos ángulos se deduce una fórmula nueva para seno de alfa por el coseno de beta. Se analiza que pasa cuando los ángulos son iguales o distintos considerando que alfa sea mayor a beta y viceversa En este video vamos a deducir las expresiones para representar el producto del seno de alfa por coseno de beta. Para representar este producto partiremos de identidades vistas en los videos anteriores que incluyan en su solución este producto, como habíamos visto las identidades que incluyen este término en su solución son las identidades seno de alfa más beta y seno de alfa menos beta. El seno de alfa más beta es igual a seno de alfa por coseno de beta más coseno de alfa por seno de beta: sen(a+β)=senαcosβ+cosαsenβ y el seno de alfa menos beta es igual seno de alfa por coseno de beta menos coseno de alfa por seno de beta: sen(a-β)= senαcosβ-cosαsenβ. Si sumamos la primera expresión con la segunda expresión, vemos que el producto seno de alfa por coseno de beta puede ser despejado ya que la suma de estas dos expresiones da como resultado lo siguiente: sen(α+β)+sen(α-β)=2senαcosβ, como vemos podemos despejar el producto de seno de alfa por coseno de beta y decir que es igual a un medio de la suma de seno de alfa mas beta con seno de alfa menos beta senαcosβ=(sen(α+β)+sen(α-β))/2. Analicemos esta expresión para los casos en que alfa sea igual a beta ó que alfa sea mayor a beta ó que alfa sea menor que beta. Para el caso que alfa sea igual a beta vemos que seno de alfa por coseno de beta es igual a un medio de seno de dos alfa, es decir senαcosβ=1/2 sen2α. Para el caso en que alfa sea mayor que beta vemos que la diferencia entre alfa y beta adquiere un valor positivo por lo que la identidad queda inalterada. Para el caso que alfa sea menos que beta vemos que la diferencia entre alfa y beta adquiere un valor negativo que hace que se modifique la identidad.
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