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Lección 28

Demostración de una identidad trigonométrica parte 10

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Décimo video de Como demostrar si una identidad trigonométrica es cierta. Se presenta un ejemplo sobre identidades trigonométricas que representa un reto mayor a las identidades que se demostraron en los primeros videos de esta serie. En este caso debe factorizarse una diferencia de cubos En este video se presenta otro ejemplo de identidades trigonométricas haciendo uso de las identidades trigonométricas fundamentales vistas en los videos anteriores. Recordemos que cuando se nos pide demostrar una identidad trigonométrica se puede partir de cualquiera de los dos lados de la igualdad y demostrar que es igual al otro lado, teniendo en cuenta que la clave para resolver este tipo de problemas es pasar todas las expresiones en términos de seno y coseno. En el primer video donde demostramos la identidad trigonométrica fundamental sen^2α+cos^2 α=1 vimos que si dividíamos por seno o coseno toda la identidad, surgían dos nuevas identidades trigonométricas: 1+cot^2α=csc^2α y tan^2α+1=sec^2 α respectivamente. En este video se hará uso de estas identidades trigonométricas resolviendo el siguiente ejemplo: Demostrar la siguiente identidad: sec^6α -tan^6α=1+3sec^2αtan^2α.Para resolver este ejercicio se empieza desarrollando la resta de cubos, la identidad queda expresada de la siguiente manera: (sec^2α-tan^2α)(sec^4α+sec^2 αtan^2α+tan^4α)=1+3sec^2αtan^2α.Como vemos secante al cuadrado menos tangente al cuadrado es igual a la unidad, además se empleara un artilugio matemático para llegar a la respuesta, como vemos ya tenemos un término secante por tangente así que sumaremos y restaremos por el siguiente término 2sec^2αtan^2α. La identidad queda: sec^4α+sec^2αtan^2α+tan^4α+2sec^2αtan^2α-2sec^2αtan^2α=1+3sec^2αtan^2α.Como vemos hemos conseguido el tres que necesitábamos y los términos que sobran forman un trinomio cuadrado perfecto, la identidad queda expresada de una manera más simplificada y adquiere la forma: (sec^2α-tan^2α)+3sec^2αtan^2α= 1+3sec^2αtan^2α.
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