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Lección 74

Coseno de la suma de dos ángulos

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Deducción de la fórmula del coseno de la suma de dos ángulos. Se parte de la fórmula del coseno de la diferencia de dos ángulos y mediante un artilugio se convierte la suma en resta para poder usar dicha fórmula. Para esta demostración se hace necesario conocer el resultado del coseno y seno de un ángulo negativo Al final se ilustra un ejemplo de uso de la fórmula obtenida En los videos anteriores habíamos demostrado que coseno de alfa menos beta era igual a coseno de alfa por coseno de beta más seno de alfa por seno de beta cos(α-β)=cosαcosβ+senαsenβ, en este video mostraremos la deducción de cómo hallar el coseno de alfa mas beta. Como hemos visto en los videos anteriores la clave para la solución de estos problemas es reescribir la ecuación para que la expresión quede expresada como el coseno de la resta de dos ángulos para la cual ya tenemos una identidad que podemos aplicar y resolver el problema. En este caso vemos que podemos expresar al coseno de alfa menos beta de la siguiente manera: cos(α+β)=cos(α-(-β)) y podemos aplicar la identidad vista en los videos anteriores, entonces que el coseno de alfa mas beta es igual a coseno de alfa por coseno de menos beta más seno de alfa por seno de menos beta. cos(α-(-β))=cos cos(-β)+senαsen(-β). Habíamos demostrado en los videos anteriores que el coseno de menos beta era igual al coseno de beta ya que la función coseno era una función par y que el seno de menos beta era igual a menos seno de beta ya que la función seno era una función impar, reemplazando estos resultados en la ecuación tenemos: cos(α-(-β))=cosαcos(β)-senαsen(β) que es lo mismo que decir que cos(α+β))=cosαcos(β)-senαsen(β), que era el resultado que queríamos encontrar. Como vemos esta solución es una nueva identidad que podemos utilizar siempre cuando nos pidan hallar el coseno de la suma de dos ángulos cualesquiera. En el video se muestra de manera más detallada cada uno de los pasos para llegar a la demostración de esta identidad.
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