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Transformada de laplace y el teorema de convolución

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Teorema de la convolución

Este video muestra con ejemplos como encontrar la convolución de dos funciones f(t) y g(t), como encontrar la transformada de laplace de una convolución y como encontrar la transformada inversa de dos funciones que se multiplican F(s) y G(s) con ayuda del teorema de la convolución

En este video veremos como hallar la transformada de Laplace de la convolución, la convolución se define de la siguiente manera: f*g= ∫f(τ)g(t-τ)dτ, evaluada entre cero y t. El teorema de convolución nos dice que la transformada de Laplace para la convolución se halla con la siguiente expresión: L[f*g)]=L[f(t)]L[g(t)]= F(s)G(s), además nos dice algo más importante aun acerca de la transformada inversa, nos dice que: L^-1[F(s)G(s)]=f*g, es decir podemos hallar la transformada inversa de la multiplicación entre dos funciones, si tenemos alguna manera de hallar la convolución entre ellas. 

Para mostrar la aplicación de este teorema, se proponen los siguientes problemas: Hallar la convolución entre las funciones f(t)=e^t y g(t)=t, aplicando la definición de convolución, tenemos que: f*g= ∫f(τ)g(t-τ)dτ = ∫(e^τ )g(t-τ)dτ = t∫(e^τ )dτ-∫τ(e^τ )dτ, con ambas integrales evaluadas entre cero y t, si resolvemos las integrales podemos decir que la convolución entre las dos funciones es: f*g = t∫(e^τ )dτ-∫τ(e^τ )dτ = e^t-t-1. Veamos ahora como encontrar la transformada de Laplace de una convolución, supongamos que nos piden encontrar la transformada de Laplace de la siguiente expresión: L[∫(e^t )(sen(t-τ)dτ, entonces lo primero que debemos hacer es identificar las funciones, vemos que f(t)=e^t y que g(t)=sent, aplicando el teorema el problema se reduce a encontrar la siguiente transformada L[(e^t)(sent)]= L[e^t]L[sent]=(1/s-1)(1/s^2+1), entonces decimos que la transformada de Laplace de la convolución es: L[∫(e^t )(sen(t-τ)dτ =(1/s-1)(1/s^2+1). 

Por último, veamos un ejemplo donde se halla la transformada inversa, supongamos que nos dicen que hallemos la transformada inversa de la siguiente función: L^-1[(1/s-1)(1/s+4)], vemos que la funciones son: F(s)=1/s-1 y G(s)=1/s+4, aplicando el teorema tenemos que la trasformada inversa se reduce a encontrar la convolución entre estas dos funciones, es decir: L^-1[(1/s-1)(1/s+4)]=f(t)g(t), miremos que f(t)=e^t y g(t)= e^-4t, en el video se muestra de manera detallada como se efectúa la convolución entre las funciones f(t) y g(t) y se llega así al resultado de la transformada inversa.
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