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Transformada de laplace y condiciones de frontera

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Solución de una ecuación diferencial con un problema de valor en la frontera mediante el uso de la transformada de laplace

En este caso en particular cada vez que se evalúe la función o la derivada en 0 tras transformar la ecuación diferencial al espacio S y no tener respuesta a estos valores vamos a sustituirlos por constantes que luego podremos hallar con las condiciones de frontera

En este video veremos como resolver una ecuación diferencial con condiciones de valor inicial y de frontera utilizando la transformada de Laplace, la diferencia del problema que se verá a continuación con respecto a los problemas que hemos trabajado en los videos anteriores, es que esta vez, las condiciones iniciales están evaluadas en un tiempo diferente de cero. Cuando este sucede lo que debemos hacer es sustituir esa condición inicial por constantes, es decir que si por ejemplo tenemos que: L[y’]=SY(s)-y(0) reemplazamos el término y(0) por la constante C, quedándonos así: L[y’]=SY(s)-C. Para ver más claramente lo que estamos diciendo resolvamos el siguiente problema: Resolver la siguiente ecuación diferencial y’’+2y’+y =0 sujeta a las siguientes condiciones y’(0) =2 y y(1)=2, lo primero que debemos hacer para resolver esta ecuación es aplicar la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación teniendo en cuenta para ello, las propiedades de linealidad de la transformada, tenemos entonces que: L[y’’]+2L[y’]+L[y]=L[0], aplicando estas transformadas la ecuación nos queda de la siguiente manera: (S^2)Y(s)-Sy(0)-y’(0)+2[SY(s)-y(0)]+Y(s)=0 , sustituyendo la condición de la derivada que nos da el problema y llamando como constante K la condición que no conocemos, la expresión puede escribirse como: (S^2)Y(s)-kS)-2+2SY(s)-2k+Y(s)=0, ahora como habíamos visto en los videos anteriores es despejar a Y(s), realizando esta operación, tenemos que: Y(s)=[(k(s+2)+2)/(s+1)^2], una vez tenemos la ecuación en el espacio s, el paso a seguir es hallar la transformada inversa de la expresión para así obtener y(t), es decir y(t) = L^-1[(k(s+2)+2)/(s+1)^2], simplificando mediante fracciones esta expresión, con el fin de facilitar la transformada inversa, tenemos: y(t)=L^-1[k/s+1]+L^-1[(k+2)/(s+1)^2], aplicando la transformada inversa, tenemos: y(t) = k(e^-t)+(k+2)(e^-t)(t), como vemos esta solución, que es la solución definitiva de nuestro problema, depende de la constante k, sin embargo, la constante k se puede hallar aplicando la condición y(1)=2 .
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eliot cenoz dice:
Monday, November 20, 2017
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simplifique el resultado a y(t)= (((1 t)e^(1-t)) ((t-1)e^(-t))

corrijanme si estoy equivocado

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