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Transformada de laplace para una función potencial no entera

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Fórmula que permite encontrar la transformada de laplace de la función potencial t^a con a siendo un exponente racional múltiplo de un medio (1/2).

Esta fórmula introduce una relación directa entre la función gamma de euler y la transformada de laplace a través del uso de las propiedades de la función gamma

En los videos anteriores veíamos que para hallar la transformada de Laplace de una potencia, podíamos utilizar la siguiente fórmula: L[t^n]=n!/[s^(α+1)], siempre y cuando n fuera un número entero, entonces, surge el problema cundo n no es un número entero sino un número no entero, ya que no podríamos hallar la transformada para este tipo de números. En este video veremos la deducción de la manera para encontrar la transformada de Laplace de una función potencial no entera, para ello haremos uso de la función de Euler llamada función gamma, que nos dará una alternativa para calcular la transformada de estos tipos de funciones. 

A continuación definiremos la función gamma y algunas de sus propiedades más importantes, la función gamma se define matemáticamente de la siguiente manera: Γ(α)=∫t^(α-1) (e^(-t) )dt,evaluada entre cero y más infinito, sus propiedades más importantes son las siguientes: la propiedad número uno es: 1) Γ(α+1)=αΓ(α), la propiedad número dos es:2) Γ(n+1)=n! (siempre y cuando n pertenezca a los enteros positivos) y la propiedad número tres es: 3) Γ(1/2)=√π . Utilizando estas propiedades, vemos entonces que podemos expresar la transformada de Laplace de una función potencial no entera de la siguiente manera: L[t^α]= Γ(α+1)/[s^(α+1)]= αΓ(α)/[s^(α+1)], como vemos, hemos reemplazado el término de n! que teníamos en la transformada de Laplace para la funciones de potencias enteras por el término equivalente que se tiene en las propiedades de la función gamma. 

Las condiciones que se deben cumplir para usar la fórmula de transformada de Laplace de una función no entera es que α>-1 y que preferiblemente sea múltiplo de la fracción ½, debido a que estos múltiplos se pueden descomponer en sumas donde se puede aplicar las propiedades 1) y 3). E n el video se muestra algunos problemas resueltos de cómo aplicar esta fórmula para potencias de números no enteros.
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