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Transformada de laplace de una función periódica parte 1

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Teorema que permite encontrar la transformada de laplace de una función periódica.

Las funciones con período T tales que f(t) = f(t+T) se pueden transformar al espacio s a través de una fórmula que simplifica su cálculo. Esta fórmula o propiedad se demuestra en este video y se ilustra con ejemplo su forma de uso.

En este video veremos como encontrar la transformada de Laplace de una función periódica, la ecuación que nos permitirá hallar la transformada para este tipo de funciones es la siguiente: L[f(t)]=(1/1-e^-sT)∫(e^(-st) )f(t)dt , con la integral evaluada entre cero y T, en donde T es el período de la función, y con la condición de que f(t) se pueda expresar como f(t+T). Recordemos que una función periódica es aquella donde cada vez que pasa un periodo de la función, esta vuelve y se repite, por ejemplo la función sen(t) es una función periódica ya que la función se vuelve a repetir cada 2π, además, vemos que esta función se puede representa también de la siguiente manera: sen(t)=sen(t+2π). 

Para demostrar esta ecuación se parte de la definición de la transformada de Laplace, en donde simplemente para hallar una transformada hay que resolver una integral, entonces si partimos la integral de la función periódica de la siguiente manera: L[f(t) ]=∫(e^(-st) )f(t)dt+∫(e^(-st) )f(t)dt, con la primera integral evaluada entre cero y T y la segunda integral evaluada entre T y más infinito. Dejando la primera integral intacta por el momento, tenemos que para resolver la segunda integral haremos la siguiente sustitución: t=w+T, con lo que w=t-T, entonces la segunda integral queda de la siguiente manera: ∫(e^(-s(w+T)) )f(w+T)dw, evaluada entre cero y más infinito, si sacamos lo que es constante de la segunda integral y tenemos que cuenta que w es una función periódica la transformada de Laplace se convierte en: L[f(t) ]=∫(e^(-st) )f(t)dt+(e^(-st))∫(e^(-sw) )f(w)dw, vemos que el término resultante en la segunda integral es igual a la transformada de Laplace de la función f(t), entonces la ecuación queda : L[f(t) ]=∫(e^(-st) )f(t)dt+(e^(-st) ) L[f(t)] , si pasamos el término que contiene trasformada de Laplace al lado izquierdo de la ecuación y luego sacamos factor común y despejamos la transformada, llegamos a la expresión que queríamos demostrar-
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