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Transformada de laplace de la función seno

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Método para encontrar la transformada de laplace de la función seno de kt partir de la definición de la transformada como integral impropia

Se procede primero por encontrar la integral indefinida que hace parte de la impropia, evaluar la integral y luego encontrar el límite que se formó al transformar la integral impropia
la transformada de sen(kt) es igual a k/(s^2+k^2)

En este video veremos como encontrar la transformada de Laplace de la función seno de k por t: f(t)=(senkt), es decir: L[senkt]. Recordemos la definición de la trasformada de Laplace para una función f(t) es: L[f(t)]=∫(e^(-st) )f(t)dt, evaluada entre cero e infinito, entonces aplicando la definición de transformada de Laplace y teniendo en cuenta que f(t)=(senkt), tenemos: L[senkt]= ∫(e^(-st) )(senkt)dt, evaluada entre cero e infinito, Ahora como habíamos visto en los videos anteriores, se reescribe la transformada utilizando los límites, entonces lo que tenemos, es lo siguiente: L[senkt]= ∫(e^{-st))(sen(kt)dt = lim(p→∞)⁡∫(e^(-st))(senkt)dt , con la integral evaluada entre cero y p. Resolviendo la integral por cualquier de los métodos conocidos o usando las tablas de integrales que aparecen en los textos de cálculo, en este caso, usando las tablas que aparecen en los textos, tenemos que: ∫(e^(-st)(senkt)dt=[(e^-st)/(s^2+k^2)][(-s)senkt-(k)coskt], evaluando la integral entre cero y p llegamos a la siguiente expresión: ∫((e^(-st))(senkt)dt= [(e^-ps)/(s^2+k^2)] [(-s)senkp-(k)coskp]+[k/s^2+k^2)],una vez que hemos hallado la integral evaluada procedemos a hallar el límite de esta función , tenemos entonces que: lim(p→∞)) [(e^-ps)/(s^2+k^2)] [(-s)senkp-(k)coskp]+[k/s^2+k^2)],= 1/(s-a). Entonces decimos que la transformada de Laplace de la función f(t)= e^at, es L[e^at]= k/(s^2+k^2) . Como vemos el método para encontrar la transformada de Laplace se puede resumir en tres pasos, el primer paso es aplicar la definición de transformada de Laplace a la función problema, el segundo paso es hallar la integral, ya sea por métodos vistos en cursos anteriores o haciendo uso de las tablas de integración, y el tercer paso es hallar el límite de la función resultante de resolver la integral. En el video se muestra de manera detallada como se resuelve la integral y como se halla luego el límite de la función resultante.
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