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Transformada de laplace de la función seno hiperbólico

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Método para encontrar la transformada de laplace de la función seno hiperbólico de kt partir de la definición de la transformada como integral impropia

Se procede primero por encontrar la integral indefinida que hace parte de la impropia, evaluar la integral y luego encontrar el límite que se formó al transformar la integral impropia
la transformada de senh (kt) es igual a k/(s^2-k^2)

En este video veremos como encontrar la transformada de Laplace de la función seno hiperbólico de k por t: f(t)=[senh(kt)], es decir: L[senh(kt)]. Recordemos la definición de la trasformada de Laplace para una función f(t) es: L[f(t)]=∫(e^(-st) )f(t)dt, evaluada entre cero e infinito, entonces aplicando la definición de transformada de Laplace y teniendo en cuenta que f(t)=[senh(kt)], tenemos: L[senh(kt)]= ∫(e^(-st) )[(senh(kt)]dt, evaluada entre cero e infinito, Ahora como habíamos visto en los videos anteriores, se reescribe la transformada utilizando los límites, entonces lo que tenemos, es lo siguiente: L[senh(kt)]= ∫(e^(-st)[(senhkt)]dt = lim(p→∞)⁡∫(e^(-st)[(senh(kt)]dt , con la integral evaluada entre cero y p. 

Este problema tiene una ventaja especial ya que el seno hiperbólico se puede expresar mediante funciones en donde la transformada de Laplace ya había sido encontrada, sabemos que seno hiperbólico es igual a: senh(kt)= (e^kt)/2-(e^-kt)/2, teniendo esto en cuenta, podemos observar que ya no hay necesidad de evaluar la integral y luego proceder a hallar el límite respectivo, sino que podemos reescribir el problema como: L[senh(kt)]=L[(e^kt)/2-(e^-kt)/2], aplicando las propiedades de linealidad que tiene la transformada de Laplace vemos la transformada adquiere la siguiente forma: L[senh(kt)]=L[(e^kt)/2-(e^-kt)/2]=(1/2)L(e^kt)-(1/2)L(e^-kt), entonces recordando que la transformada para una función exponencial es: L[e^at]=(1/s-a) podemos hallar la transformada del seno hiperbólico de k por t, L[senh(kt)]= k/(s^2-k^2). En el video se muestra de manera más detallada los procedimientos algebraicos para llegar a la expresión final y se muestran algunos problemas resueltos de senos hiperbólicos de algunas funciones.
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