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Transformada de laplace de la función Delta de Dirac

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Método para encontrar la transformada de laplace de la función delta de dirac cuando está se encuentra multiplicada por una función f(t)

En este video se muestra de una forma intuitiva como podemos encontrar la transformada de laplace de una función que se encuentra multiplicando a la función delta de dirac a través del uso de la definición de la transformada de laplace

En este video veremos como hallar la transformada de Laplace de una función f(t) que multiplica a la función delta de dirac centrada en a. Recordemos primero, la definición y alguna de las propiedades de la función delta de dirac, la función delta de dirac δ(t-a), centrada en a es una función que toma el valor de infinito para valores de t iguales a a y toma el valor de cero para los valores distintos de a, además, tenemos la siguiente propiedad: ∫δ(t-a)dt=1, con la integral evaluada entre menos infinito y más infinito. Para hallar la transformada entonces, hacemos un nuevo acotamiento en los límites de la integral de esta manera: ∫δ(t-a)dt=1, con la integral evaluada entre cero y más infinito, vemos que es necesario definir este reacotamiento, debido a que la transformada de Laplace solo está definida para valores de t mayores a cero, en el video se muestra gráficamente las razones por las que es posible acotar de esta manera la integral. 

Teniendo en cuenta la definición de transformada de Laplace, vemos que la transformada de esta función queda definida de la siguiente manera: L[f(t)δ(t-a)] = ∫(e^(-st) )f(t)δ(t-a)dt, con la integral evaluada entre cero y más infinito, entonces para hallar la transformada de Laplace se necesita hallar simplemente esta integral. Miremos intuitivamente que si multiplicamos la función (e^(-st) )f(t)por δ(t-a) en el intervalo de cero hasta a, vemos que la multiplicación toma el valor de cero, al igual que sucede para los valores que están entre a e infinito. Cuando multiplicamos la función (e^(-st) )f(t)por δ(t-a) en el punto a, vemos que la multiplicación de estas funciones adquieren el valor de (e^as)f(a)∞, teniendo estos resultados en cuenta vemos que la transformada se resume a la siguiente expresión: L[f(t)δ(t-a)] = ∫(e^(-as) )f(a)δ(t-a)dt, con la integral evaluada entre cero y más infinito. En el video se muestra de manera detallada la solución de esta integral para obtener así la transformada de Laplace para esta función.
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