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Tercer caso de Frobenius parte 1

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Primera parte: Solución de una ecuación diferencial lineal homogénea de coeficientes variables mediante el uso de series de potencias

En este problema se ilustra como utilizar el teorema de Frobenius cuando las raíces indicativas son iguales. En esta primera parte de esta serie de videos se procede a encontrar la relación de recurrencia para los coeficientes que hacen parte de la primera soución

En este video vamos a resolver la siguiente ecuación diferencial, utilizando el teorema de Frobenius, la ecuación es la siguiente: xy’’+y’-4y=0, como podemos ver el punto x=0 es un punto singular regular para esta ecuación por lo que podemos aplicar el teorema. Aplicando el teorema, decimos que al menos una solución para esta ecuación diferencial y que es de la siguiente forma: y = ∑cn(x)^(n+r), teniendo en cuenta que x= 0, entonces lo que tenemos que hacer es hallar la primera y segunda derivada de esta expresión y reemplazarlas así en la ecuación diferencial para poder encontrar los parámetros cn y r. Entonces la primera derivada es: y’ = ∑(n+r)(cn)[(x)^(n+r-1)] y la segunda derivada seria entonces: y’’ = ∑(n+r-1)(n+r)(cn)[(x)^(n+r-2)], reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial tenemos: x{∑(n+r-1)(n+r)(cn)[(x)^(n+r-2)]}+{∑(n+r)(cn)[(x)^(n+r-1) }-4[∑cn(x)^(n+r)]=0, lo que debemos hacer con esta expresión es usar propiedades de la sumatoria y tratar de unificar todas las sumatorias en una sola que represente toda la operación, además que los contadores de las sumatorias empiecen desde el mismo número( en el video se muestra de manera detallada como se realiza este procedimiento), realizando todas estas operaciones matemáticas llegamos a la siguiente expresión: (r^2)(Co)(x^-1)+∫[{(k+1+r)(k+r)(Ck+1)+(k+1+r)Ck+1-4Ck}(x^k)]= 0, para que esta expresión sea cero vemos que la única opción para que esto suceda es que r^2=0 o que lo que hay dentro de la sumatoria sea igual a cero, si r^2=0 entonces las raíces son iguales: r1=r2=0 por lo cual la solución a la ecuación diferencial es solo una según el teorema de Frobenius . Por otro lado, si simplificamos lo que hay dentro de la sumatoria llegamos a la expresión de recurrencia para la formación de Ck, la expresión obtenida es Ck+1=[(4k/(k+1+r)^2]. La solución de la ecuación diferencial se verá en el próximo video, teniendo en cuenta los resultados obtenidos en este video.
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