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Teorema de Frobenius parte 1

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Primera parte: Solución de una ecuación diferencial con coeficientes variables en torno a un punto singular regular mediante el uso del teorema de frobenius que garantiza la existencia de al menos una solución en forma de una serie de potencias en torno a dicho punto

Cuando se trata de resolver una ecuación diferencial de este tipo: a2(x)y’’+a1(x)y’+a0(x)y=0, donde los coeficientes son variables, veíamos en los videos anteriores, que podíamos resolverla utilizando series de potencias, también veíamos que si reescribíamos la ecuación de la siguiente manera y’’+p(x)y’+q(x)y= 0, los coeficientes p(x) y q(x) tenían que ser analíticos para poder encontrar una solución a la ecuación diferencial con respecto a un punto ordinario utilizando las series de potencias, sin embargo no siempre es posible que esto suceda, en este caso decimos que tenemos un punto singular que puede ser regular o no regular. Frobenius que es un matemático nos ayuda a encontrar un método para resolver este tipo de ecuaciones, siempre y cuando el punto singular del que estemos hablando sea singular, recordemos que un punto es singular regular si cumple que (x-a)p(x) y (x-a)^2[q(x)] son analíticas, es decir que se pueden representar como series de potencias en el punto x=a. 

Cuando se cumplen todas estas condiciones lo que nos dice el teorema de Frobenius es que existe al menos una solución y que la solución es de la siguiente forma: y = ∑cn(x-a)^(n+r), entonces en este tipo de problemas ya no sólo tendremos que determinar los coeficientes cn sino también el valor de el término r. Veamos mediante un ejemplo como resolver una ecuación diferencial por este teorema, nos dicen que resolvamos la siguiente ecuación diferencial: 3xy’’-y’-y= 0, si escribimos esta ecuación en su forma reducida tenemos que y’’-y’/3x-y/3x=0 observamos que se presenta un problema en el punto x=0 ya que surge una indeterminación, además si analizamos las condiciones de este punto vistas en los videos anteriores concluimos que el punto es un punto singular regular por lo que se puede aplicar el teorema , como vemos entonces esta ecuación al menos tiene una solución de esta forma: y = ∑cn(x)^(n+r), teniendo en cuenta que x= 0. En el video se muestra de manera detallada como se hallan los coeficientes cn y el parámetro r, y así poder encontrar la solución de la ecuación diferencial.
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