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Sustitución para reducir una ecuación diferencial a separación de variables

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El método que se ilustra es aplica para resolver ecuaciones diferenciales de la forma dy/dx = f(ax+by+c).

En estas ecuaciones donde la derivada es igual a una función de una ecuación lineal se debe realizar la sustitución u=ax+by+c y la derivada con respecto a x de y debe encontrarse para que la nueva ecuación diferencial sea solo en función de x y de u.

Esta nueva ecuación diferencial podrá resolverse mediante separación de variables.

En este video se explica cómo mediante el uso de una sustitución podemos reducir una ecuación diferencial a una que se puede resolver mediante separación de variables. Este método se utiliza para el caso específico cuando tenemos ecuaciones diferenciales de la forma dy/dx = f(Ax+By+c), haciendo la sustitución U=Ax+By+C, y vamos a remplazarla. Miremos que si sustituimos la U en la expresión inicial vamos a tener una función de U, pero también vamos a tener “y” y “x”, por lo que se hace necesario encontrar también el diferencial de “y” con respecto a “x”, el cual podemos encontrar de la igualdad U=Ax+By+C. 

Para ilustrar cómo funciona la sustitución para llevar al ecuación diferencial a la separación de variables, se realiza el ejemplo con la ecuación dy/dx=(-5x+y) ^2. Una vez tengamos una ecuación diferencial du y dx que vamos a poder solucionar integrando a ambos lados, es decir, por separación de variables. En este caso se muestra cómo se realiza la integral, aunque esta pudiera resolverse mediante el uso de tablas. Para ello se comienza factorizando para poder resolver la integral mediante fracciones parciales. Al final del video se realiza otro ejemplo para la ecuación dy/dx=Cos(x+y), con la condición de que y(0)=pi/4.
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