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Solución ecuaciones diferenciales homogénas con coeficientes constantes parte 1

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Ejemplo de solución de tres ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden.

Cada ejemplo hace referencia a los tres posibles casos que existen para las raíces de la ecuación auxiliar.

El primer ejemplo ilustra como proceder cuando las raíces son reales y distintas.
El segundo, cuando ambas raíces son reales e iguales y el tercer ejemplo cuando las raíces son complejas conjugadas.

Para resolver las ecuaciones auxiliares se hace uso de la factorización por tanteo y de la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas.

En este video veremos la solución de tres ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden, cada uno de los ejercicios plantea los tres tipos de soluciones que hay para las ecuaciones homogéneas, el primer ejemplo ilustra como proceder cuando las raíces son reales y distintas, el segundo, cuando ambas raíces son reales e iguales y el tercer ejemplo cuando las raíces son complejas conjugadas. El primer ejemplo es: Resolver la siguiente ecuación diferencial y’’+3y’+2y=0. 

Para resolver este problema lo primero que debemos hacer es plantear la ecuación auxiliar en término de m, la ecuación auxiliar es entonces: (m^2)-(3m)+2=0, si resolvemos esta ecuación que está en términos de m ya sea por factorización o por fórmula general se pueden encontrar las raíces de la ecuación diferencial, entonces factorizando la ecuación anterior tenemos: (m-2)(m-1)=0, o sea que m va a tener dos valores que son raíces de la ecuación, diremos entonces que la raíz uno es m1=2 y que la raíz dos es m2=1, como vemos estas raíces son diferentes por lo que la solución a la ecuación diferencial tiene la siguiente forma: YH = C1(e^{m1x})+C2(e^{m2x})=C1(e^2x)+C2(e^x). 

Veamos ahora cuando tenemos raíces iguales, supongamos que nos dan como segundo ejemplo: Resolver la siguiente ecuación diferencial: y’’+2y’+y=0, entonces como habíamos visto, lo primero que debemos hacer es escribir la ecuación auxiliar: m^2+2m+1=0, podemos notar que esta expresión se puede factorizar como un trinomio cuadrado perfecto de esta manera: (m+1)^2, entonces la raíces para esta ecuación son m1=-1 ym2=-1, es decir m1 y m2 son raíces iguales , entonces la solución cuando hay raíces que se repiten se expresa de la siguiente manera: YH=C1(e^-x)+C2(x)(e^-x). En el video se muestra un ejemplo más para el caso en el que las raíces de la ecuación diferencial adquieren valores complejos.
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