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Solución de una ecuación diferencial usando la transformada de laplace parte 1

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Aplicación de la transformada de laplace: Método general para resolver una ecuación diferencial con valores iniciales mediante el uso de la transfomada de laplace

La ventaja de la transformada de laplace para resolver problemas de valor inicial es que involucra desde el principio las condiciones iniciales lo cual permite encontrar la solución específica de la ecuación diferencial, no la general.

En este primer video se bosqueja la serie de pasos que deben seguirse para solucionar una Ecuación Diferencial mediante el uso de la transformada de laplace con un ejemplo. El primer paso es convertir toda la ecuación al espacio s, luego solucionar de forma algebraica la ecuación para encontrar la solución para la función en s. A esta última solución se le saca la transformada inversa para volver al espacio original (t, x, etc) y finalmente tener la solución final.

En este video veremos una aplicación muy importante que tiene la transformada de Laplace y es como utilizar la transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales cuando tenemos el problema de valor inicial con la condición que t= 0. El procedimiento que se debe seguir para resolver este tipo de problemas, es el siguiente: 1) A la ecuación diferencial que generalmente esta en términos de t se le halla la transformada de Laplace con lo cual queda una ecuación en términos de S. 2) Una vez tengamos la ecuación en términos de S procedemos a solucionar dicha ecuación algebraicamente. 3) Una vez solucionada la ecuación en términos de S procedemos a hallar la transformada inversa que nos dará la solución a la ecuación original. 

La ventaja de utilizar la transformada de Laplace para resolver este tipo de problemas es que al usar las condiciones iniciales del problema encontramos la solución que satisface esa condición inicial a diferencia de los otros procedimientos en donde las ecuaciones quedaban en términos de unos parámetros que tenían que ser hallados aplicando las condiciones. Recordemos alguna de las fórmulas de las transformadas de las derivadas más comunes y que aparecen en estos tipos de problemas, tenemos que L[y’]=SY(s)-f(0), L[y’’]=(S^2)Y(s)-Sy(0)-y’(0), L[y’’’]=(S^3)Y(s)-(S^2)y(0)-sy’(0)-y’’(0). 

Para ver como se aplica este procedimiento resolvamos el siguiente problema: Supongamos que nos piden solucionar la siguiente ecuación diferencial con condición de valor inicial: dy/dt-3y=e^2t, con la condición y(0)=1, entonces el primer paso nos dice que hallemos la transformada de Laplace de esta ecuación: L[y’-3y]=L[e^2t], aplicando las transformadas para las derivadas enunciadas anteriormente, tenemos que: SY(s)-y(0)-2Y(s)=1/s-2, ahora aplicamos el segundo paso y organizamos esta ecuación aplicando la condición inicial, entonces la ecuación en términos de s nos queda: Y(s)=[1/(s-2)(s-3)]+[1/s-3], por último aplicamos el tercer paso y hallamos la transformada inversa de la función Y(s), el resultado de hacer esto es el resultado de nuestra ecuación diferencial.
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