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Solución de una ecuación diferencial mediante series de potencias parte 1

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Método para resolver una ecuación diferencial mediante el uso de series de potencias. Se explica como operar el símbolo sumatoria para operaciones básicas como son la derivación y enfasamiento de tal forma que se puedan encontrar los coeficientes inderminados de la solución en forma de serie de potencias para el caso particular de una ecuación de primer orden, la cual luego se procede a verificar mediante separación de variables

En este video se explica cómo resolver una ecuación diferencial de segundo orden o superior mediante series de potencias. En primer lugar se explica el procedimiento general con una ecuación diferencial de primer orden, que podríamos solucionar por algunos otros métodos, pero en este ejemplo se usa el método de series de potencias. Lo que debemos hacer es encontrar los coeficientes de la serie para después determinar la solución a la ecuación diferencial. Lo primero que hacemos es encontrar la derivada de la función para poder sustituir y luego sustituir la función por la serie. Este video resulta muy importante también para ver cómo manipular series y para entender cómo se soluciona de esta manera una ecuación diferencial. Si vamos a averiguar la serie de potencias, la derivada va a ser igual a derivar normal y se altera solamente desde donde parte la serie. 

En algunos casos es necesario derivar nuevamente para lo cual se hace necesario también correr el número del que inicia la sumatoria. La idea es que podamos expresar todo el problema en términos de una sola suma, para lo cual se hace necesario el procedimiento de enfasar que consiste en que se logre que las x arranquen en la misma potencia y que tengan los mismos índices. Una de las partes más complicadas para solucionar una ecuación diferencial mediante el uso de series es enfasarlas, para lo que necesitamos llamar k al exponente en ambos casos, y hacemos el cambio en cada suma de forma separada y luego procedemos a despejar en esa ecuación a “n” para convertir cada una de esas sumas en términos de k. La idea es que la suma ya no arranque desde “n” sino desde “k”.
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