• Preuniversitarios
  • Álgebra
  • Aritmética
  • Cálculo
  • Contabilidad
  • Economía
  • Ecuaciones Diferenciales
  • Estadística
  • Finanzas
  • Física
  • Geometría
  • Ingeniería
  • Lógica
  • Matemáticas Financieras
  • Métodos Númericos
  • Química
  • Termodinámica
  • Trigonometría

Solución Ecuación Diferencial de Bernoulli

Regístrate para ver este video
Método para solucionar la ecuación diferencial de Bernoulli mediante sustitución.
Para solucionar la ecuación diferencial y'+p(x)y=f(x)y^n se procede a realizar la sustitución u=y^(1-n). 

La nueva ecuación tendrá como variable dependiente a u, pero para ello se debe despejar a "y" y encontrar la derivada con respecto a x para hacer la sustitución.

La nueva ecuación en términos de u y x será una ecuación diferencial lineal de primer orden que puede solucionarse mediante el uso de un factor integrante.
Una vez solucionada esta ecuación para u se procede a hacer el cambio por su equivalente en y con lo cual la ecuación diferencial será solucionada

En este video veremos como solucionar una ecuación diferencial muy especial conocida como la ecuación diferencial de Bernoulli. La ecuación diferencial de Bernoulli tiene la siguiente forma: y’+p(x)y=f(x)y^n, como vemos esta ecuación se parece mucho a una ecuación diferencial lineal. Para resolver este tipo de ecuación vamos a hacer uso de la siguiente sustitución, vamos a decir que u=y^(1-n), al hacer esta sustitución lo que vamos a hacer es convertir la ecuación original que está en términos de y y de x a una ecuación en términos de u y de x. Veremos que una vez que tengamos la ecuación en términos de u y de x el problema se reduce a resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden. 

Veremos el procedimiento descrito utilizando un problema numérico, nos dicen entonces que resolvamos la siguiente ecuación: xy’+y=1/y^2, entonces para que esta ecuación adquiera la forma deseada tenemos que dividirla por el término x, una vez dividimos por x, la ecuación adquiere la siguiente forma: y’+y/x=1/[x(y^2)) ó y’+(x^-1)y= (x^-1)( y^-2), una vez tenemos la forma deseada, lo que debemos hacer es realizar la sustitución recomendada inicialmente, decimos entonces que u es igual a y elevado a la uno menos n, como vemos, para nuestro caso n=2, entonces tenemos u=y^(1-(-2))=y^3, si despejamos a y de la ecuación anterior, vemos que y=u^(1/3) y que la derivada de y es igual a y’=(1/3)u^(-2/3)du/dy, sustituyendo estos valores en la ecuación, esta adquiere la forma: (1/3)u^(-2/3)du/dy + (x^-1)[u^(1/3)]= (x^-1)[ u^(-2/3)]. Esta nueva ecuación en términos de u y x es una ecuación diferencial lineal de primer orden que puede solucionarse mediante el uso de un factor integrante. Una vez se soluciona esta ecuación para u se procede a hacer el cambio por su equivalente en y con lo cual la ecuación diferencial será solucionada.
Preguntale a otros estudiantes
Conectado como Usted no esta conectado.
Pregunta:
Detalles de la Pregunta:



Waiting...
Toma el curso completo para que puedas acceder a todas sus lecciones
Haz clic en el botón naranja para adquirirlo
El demo del video ha terminado
¿Deseas ver este video completo?
crea tu cuenta en TareasPlus
Regístrate!