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Solución ED no homogénea por serie de potencias parte 1

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Solución de una ecuación diferencial no homogénea de segundo orden con coeficientes variables mediante el uso de una serie de potencias en torno al punto ordinario x igual cero.

En este video se muestra cómo se puede solucionar una ecuación diferencial no homogénea de segundo orden con coeficientes variables mediante el uso de series de potencias. Cuando hablábamos de las ecuaciones diferenciales lineales, decíamos que la solución total de una ecuación diferencial no homogénea, era igual a la solución a la homogénea más la particular. Cuando usamos series de potencias debemos asumir que en ellas está contenida la solución a la homogénea y a la particular. En este caso se utilizan series de potencias en torno al punto ordinario x=0. Cuando tenemos coeficientes polinomiales tenemos que en general todos los puntos van a ser ordinarios, a no ser que el coeficiente que acompañe a la derivada mayor orden sea igual a cero. 

Como esto sucede lo que debemos hacer es derivar dos veces “y” para poder sustituir en la ecuación diferencial por la segunda derivada, y sustituir la “y” por la sumatoria. Cuando tenemos la ecuación escrita en términos de sumatoria, debemos tratar de enfasar las sumas en caso de ser posible, es decir, hacer que las dos sumas partan desde la misma potencia para x y desde el mismo valor para n. Como es una ecuación diferencial de segundo orden, cuando comencemos a encontrar las constantes, debemos encontrar los demás coeficientes y resolverlo en términos de dos constantes.
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