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Solución ED con una función a tramos mediante transformada de laplace parte 1

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Primera parte: Uso de la transformada de laplace para resolver una ecuación diferencial donde la función de salida se encuentra definida a tramos

En este caso se empieza primero por expresar la función a tramos en forma compacta mediante el uso de la función escalón unitario.

Luego se transforma la ecuación diferencial al espacio S, se depeja la función incógnita en S y regresamos al espacio t haciendo uso de la transformada inveresa

En este video veremos una de las aplicaciones de la transformada de Laplace más importantes como lo es encontrar la solución de una ecuación diferencial de una función a tramos. Para ver como es el procedimiento se propone el siguiente problema: Resolver la siguiente ecuación diferencial: y’+2y=f(t) , donde f(t) es una función a tramos definida de la siguiente manera, f(t) toma el valor de t para valores de 0≤t<1 y f(t) toma el valor de 1 para valores de t≥1, además el problema nos da una condición de valor inicial, que es: y(0)=0. 

Para resolver este problema lo primero que hacemos es expresar la ecuación diferencial de una manera más compacta, utilizando para ello la función escalón unitario, entonces tenemos que la función f(t) se puede representar como: f(t)=t+(0-t)u(t-1),ahora podemos así, expresar la ecuación de una manera compacta: y’+2y=t-tu(t-1). Recordando los videos anteriores, vemos que el procedimiento a seguir una vez la ecuación esta de la manera compacta, es hallar la transformada de ambos lados de la igualdad, esto es: L[y’+2y]=L[t-tu(t-1)], aplicando las propiedades de linealidad de la transformada y sabiendo que habíamos visto las transformadas para las derivadas, esta ecuación queda transformada en términos de s, de la siguiente manera: SY(s)-y(0)+2Y(s)=1/s^2-e^s(1/s^2+1/s), en el video se muestra e manera detallada como se llega a esta expresión haciendo uso de los teoremas vistos en los videos anteriores. 

Recordemos que ahora, el paso que sigue es despejar a Y(s) y sacar la transformada inversa para hallar así la solución a la ecuación diferencial, tenemos entonces que Y(s) =[1/s^2(s+2)]- [e^s(s+1)/ s^2(s+2)], entonces la solución de la ecuación diferencial es la transformada inversa de la expresión anterior, el procedimiento detallado para sacar la transformada inversa de esta expresión se verá al final de este video y además en el próximo video de esta serie.
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