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Sistema de ecuaciones diferenciales y transformada de laplace p1

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Primera parte: Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales mediante el uso de la transformada de laplace

Para resolver un sistema de ED con laplace lo primero es convertir las ecuaciones al espacio S, luego mediante manipulación algebraica solucionar el sistema de ecuaciones para las funciones en S, y por último transformar estas soluciones (con la transformada inversa) al espacio t

En los videos anteriores veíamos un método de eliminación para resolver sistema de ecuaciones diferenciales lineales, en este video veremos como usar la transformada de Laplace para resolver sistema de ecuaciones diferenciales, en especial cuando tenemos un problema de valor inicial. Para ver el método, solucionaremos el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: 1) x’=y +sent, con la condición de valor inicial x(0)=2 y 2)y’=x+2cost con la condición de valor inicial y(0)=0. Para resolver este sistema lo primero que debemos hacer es llevar al espacio s ambas ecuaciones, utilizando para ello, la transformada de Laplace. 

Teniendo en cuenta las propiedades de linealidad de la transformada el sistema de ecuaciones adquiere la siguiente forma: 1) L[x’]=L[y]+L[sent] y 2) L[y’]=L[x]+2L[cost], resolviendo las transformadas de todas estas expresiones mediante los diferentes métodos vistos en los videos anteriores el sistema de ecuaciones diferenciales queda expresado en el espacio s de la siguiente manera:1) SX(s)-Y(s)=(1/s^2+1)+2 y 2) SY(s)-X(s)=2s/s^2+1, una vez que tenemos el sistema de ecuaciones en términos de s, se resuelve el sistema para encontrar X(s) y Y(s) aplicando cualquiera de los métodos conocidos, en este caso el sistema se resuelve por eliminación y nos da el siguiente resultado: Y(s)=[(4s^2+3)/(s^2+1)(s^2-1)], entonces para hallar a y(t) simplemente sacamos la transformada inversa de esta expresión. En el video se muestra de manera detallada como se simplifica primero la expresión para Y(s) mediante el uso de fracciones parciales, y en el próximo video, que es la continuación de este ejercicio, se verá como se encuentra X(s) también por eliminación y como después se halla su transformada inversa para hallar a x(t).
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