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Segundo teorema de traslación transformada de laplace

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Segundo teorema de traslación para encontrar la transformada de laplace de una función escalón unitario multiplicada por f(t-a).

El teorema nos dice que la transforma de laplace del producto de f(t-a) por la función escalón unitario en a es igual a e^-as por la transformada de f(t)
Nótese que f(t) resulta de sustituir a t-a por t en f(t-a)

Adicionalmente se desprende de esta propiedad que la transformada de la función escalón unitario en a es igual a e^-as / s siendo f(t-a) = 1

En este video veremos un teorema muy útil para encontrar transformadas de Laplace, este teorema se conoce con el nombre de segundo teorema de translación y nos dice que si yo necesito transformar una función f(t-a) multiplicada por una función escalón unitario u(t-a)a una función mucho más sencilla, lo puedo hacer, el teorema nos indica lo siguiente: Si F(s)= L[f(t)] y a>0, entonces L[f(t-a) u(t-a)]=(e^-as)F(s), de esta ecuación también se desprende la siguiente: L[ u(t-a)]=(e^-as)/s, esto resulta si hacemos que la función f(t)=1 por lo que f(t-a)=1, y en las tablas de transformadas vemos que la transformada de esta función es igual a 1/s. 

Recordemos que el objetivo de estos teoremas es evitar que tengamos que usar la definición para hallar la transformada de este tipo de funciones, que a veces resulta un poco complejo y extenso debido a la gran cantidad de cálculos que se requieren hacer. Para mostrar como se utiliza este teorema resolvamos algunos ejemplos: Supongamos que nos piden hallar la transformada de la siguiente función f(t)= [(t-3)^3][u(t-3)], entonces lo que nos dice el teorema es que la transformada de esta función es igual a e elevado a la menos a por s (para este caso como vemos, el valor de a es tres) multiplicado por la transformada de la función f(t) que resulta de sustituir a (t-a) por t en f(t-a), matemáticamente, lo que acabamos de decir es lo siguiente: L[(t-3)^3][u(t-3)]= [(e^-3s)]L[t^3], vemos que simplemente debemos hallar la transformada de t^3 para que el problema quede completamente solucionado, si recurrimos a las tablas de transformada de Laplace, tenemos que: L[t^3]=3!/s^4, entonces la solución al problema es: L[(t-3)^3][u(t-3)]= [(e^-3s)]( 3!/s^4). 

Aunque usamos el teorema de translación para hallar la transformada de Laplace de algunas funciones, la aplicación más utilizada de este teorema es encontrar la transformada de Laplace de funciones en las que nos dan la gráfica y a partir de ella llegar a una representación en términos de funciones de escalón unitario.
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