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Relación entre la función gamma y la transformada de laplace (demostración)

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Demostración de la relación entre la función gamma de euler y la transformada de laplace de una función potencial racional

La demostración parte de la definición de ambas funciones como integrales impropias para mostrar la igualdad que establece que la transformada de laplace de t^a es gamma de a+1 entre s^(a+1)

En nuestros videos anteriores acerca de transformada de Laplace, habíamos dicho que la transformada de Laplace de t^α era igual a Γ(α+1)/s^α+1, cuando α es mayor que -1. En este video se muestra de dónde nace esta propiedad, para lo cual se parte de definir las funciones como integrales impropias para demostrar la definición anteriormente dada. Como se ve en el video se define la transformada como una integral y se reescribe en términos de otra variable para demostrar precisamente la definición dada inicialmente. Debe recordarse también la definción de Γ(x) como una integral, para pasar a definir Γ(α+1). Si debe entonces demostrar que la transformada de Laplace definida como integral, es igual a la definición de la Γ (α+1) dividido entre s^α+1. Se sustituye st por la variable w, por lo cual debemos cambiar también los intervalos de la integral, pues la idea es convertir la integral que está en términos de t, a una integral en términos de w. Siempre que tengamos la función Γ(x) tenemos que garantizar que lo que está dentro del paréntesis sea mayor que cero.
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