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Reducción de Orden

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Método de reducción de orden para encontrar la segunda solución de una ecuación diferencial de segundo orden conocida una de sus soluciones

En este video veremos el método de reducción de orden para la solución de ecuaciones diferenciales de orden superior, el objetivo de este método es convertir una ecuación diferencial de segundo orden a una de primer orden. Este método se puede utilizar cuando se cuenta con una de las soluciones de la ecuación diferencial, recordando que para una ecuación diferencial de orden dos existen dos soluciones. Supongamos que nos dicen que tenemos la siguiente ecuación diferencial: y’’-y=0 y que una de las soluciones a esta ecuación es y1=e^x, entonces, lo que nos dice el método de reducción de orden es que la segunda solución a esta ecuación tiene la forma y2=U(x)y1. 

Sustituyendo a y2 en la ecuación original vemos que debemos sacar la segunda derivada para realizar todos los reemplazos, vemos que la segunda derivada de y2=U(x)y1 es igual a: y2’’=(Ue^x)+(e^xU’)+(e^xU’’)+(U’e^x)=(Ue^x) +(2e^xU)’+(e^xU’’), sustituyendo estas expresiones en la ecuación original tenemos: [(Ue^x) +(2e^xU)’+(e^xU’’)]-(Ue^x)=0, si simplificamos esta expresión se llega a la siguiente ecuación: e^x(2U’+U’’)=0. Sabemos que como e^x no puede ser cero, necesariamente el término (2U’+U’’)=0, si decimos que W=U’ vemos que estamos reduciendo el orden de la ecuación ya que si efectuamos este reemplazo tenemos W’+2W=0, resolviendo esta ecuación anterior por el método del factor integrante visto en los videos anteriores tenemos que el valor para w en esta ecuación es: w=C1(e^-2x), pero como lo que nos interesa es U y no W, lo que hacemos es recordar que W=U’ y que entonces para hallar el valor de U debemos integrar ambos lados, con lo que tenemos que U=∫W=∫C1(e^(-2x))dx= [- C1(e^(-2x) )/2+C2], como vemos, hemos encontrado la segunda solución que buscábamos al principio del problema , la cual es: y2=[-C1(e^(-2x) )/2+C2]e^x. En el video se muestra también una fórmula mucho más corta para efectuar la reducción de orden de una manera más simple.
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