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Qué es una ecuación diferencial parte 1

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Explicación del concepto de ecuación diferencial y como se pueden clasificar de acuerdo al tipo (ordinaria o parcial), al orden (primer orden, segundo orden y demás) y si la ecuación diferencial es lineal o no

En este video hablaremos acerca de que es una ecuación diferencial. Una ecuación diferencial es una ecuación que tiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Si tenemos una ecuación de la siguiente forma: dy/dx+10y=e^x, decimos que tenemos una ecuación diferencial. Cuando teníamos ecuaciones en algebra veíamos que teníamos que encontrar que valor de x satisfacía la igualdad y que este valor era un número cualquiera, en el caso de las ecuaciones diferenciales vemos que la solución no es precisamente un número sino una función, es decir, que en una ecuación diferencial debemos encontrar una función que al derivarla y aplicar otras operación se cumpla la igualdad. 

Para ejemplificar esto, supongamos que nos piden resolver la siguiente ecuación diferencial: y’=x√y y nos dicen que verifiquemos que la función (x^4)/16 es una solución para dicha ecuación, entonces lo que debemos hacer es sustituir la función en la igualdad y comprobar que esta se cumple, esto implica calcular la derivada de la función y sustituirla en la igualdad, entonces lo primero que hacemos es calcular la derivada de la solución de prueba, derivamos a y con respecto a x lo cual nos da un resultado de: dy/dx=y´= (4x^3)/16=( x^3)/4 y luego lo reemplazamos en la ecuación de igualdad, la ecuación queda entonces como: ( x^3)/4=x√(x^4/16), como vemos si resolvemos la raíz cuadrada la parte izquierda de la ecuación es igual a la parte derecha y decimos entonces que la función (x^4)/16 es una solución para dicha ecuación. 

Una ecuación diferencial tiene distintas clasificaciones, una de las maneras de clasificar una ecuación diferencial, es que diga que se trata de una ecuación diferencial ordinaria (E.C.D.O), esto quiere decir que se deriva la variable dependiente con respecto a una única variable independiente, pero si la ecuación implica derivadas parciales decimos que estamos ante una ecuación diferencial parcial. En el video se ven y explican otro tipo de clasificaciones que tienen este tipo de ecuaciones.
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