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Problema reducción de orden

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Video con ejemplos prácticos del uso de la fórmula de reducción de orden para solucionar una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden cuando conocemos una de las soluciones.

Como se explica en este tutorial, la verdadera dificultad de usar esta fórmula se encuentra en el hecho que en esta aparece el operador integral dos veces y en ocasiones las funciones a integrar son trascendentes y no poseen primitiva y el proceso de integrar se hace extenso ya que estas funciones deben convertirse a serie de potencias para aproximarlas.

En el video anterior se dedujo la fórmula de reducción de orden que nos decía que para una ecuación diferencial de la forma y’’+p(x)y’+q(x)y=0, conocida una solución Y1, podíamos encontrar una segunda solución Y2 con una fórmula. Se realiza un ejemplo con la ecuación diferencial x^2y’’ -3xy’+4y=0 con una soluciónY1=x^2. La idea es determinar la solución general en el intervalo cero y más infinito, sin contener al cero. Recordemos que cuando llevemos la ecuación a la forma estándar, x tiene que ser diferente de cero para poder realizar la división. Posteriormente debemos identificar quién es p(x) para poder resolver Y2, y obtener finalmente la solución a la ecuación diferencial. 

Recordemos siempre en este tipo de problemas simplemente dejar la ecuación diferencial en su forma estándar, sin coeficiente al lado de y’’, luego identificamos p(x) y sustituirlo tal cual en la fórmula que teníamos. Finalmente se realiza un ejemplo en el que nos dan la ecuación diferencial y’’-4y’+4y=0 con una solución Y1=e^2x. Debe recordarse que la fórmula solo se aplica para ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden igualadas a cero. La dificultad que se nos presenta para solucionar problemas de reducción de orden es en realidad con las integrales.
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Juan Arenas dice:
Wednesday, October 4, 2017
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8. Si W (f, g) (x) = x sen2 x en I = (-1, 1) ¿las funciones f y g son L.I. o L.D. sobre I?

Ayuda.: Teorema: Si f y g son funciones derivables en un intervalo abierto I y si W(f, g)(x0) 6= 0
para algun xo ? I, entonces f y g son L.I. en I. Adem´as, si f y g son L.D. en I entonces W(f, g)(x) = 0
para toda x ? I.

9. Considere las funciones f1 (x) = x |x| y f2 (x) = x^2 en I = (-8, 8), pruebe que:
(a) f1 y f2 son L.I sobre I.
(b) W (f1, f2) (x) = 0. ¿ Contradice esto el teorema anterior?

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Juan Arenas dice:
Wednesday, October 4, 2017
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En el punto 9, el intervalo no es de -8,8 sino de -infinito, infinito

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