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Problema decrecimiento exponencial

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Aplicación de las ecuaciones diferenciales de primer orden: Modelo matemático para solucionar un problema de decrecimiento exponencial.

Se plantea la ecuación general de decrecimiento dN/dt= kN (igual a la de crecimiento) y se presenta su solución mediante el método de separación de variables.

El modelo indica que la variación de una una cantidad con respecto al tiempo es directamente proporcional a la cantidad presente. Pero dicha cantidad disminuye conforme transcurre el tiempo.

En el video se muestra un ejemplo que nos dice que una sustancia radioactiva disminuye el 3% después de transcurrir 6 horas (inicialmente se tenían 100mg). La pregunta que se plantea es cuanto disminuyó la cantidad de dicha sustancia cuando habían transcurrido 2 horas.

La solución a este tipo de ecuación diferencial es de la forma N=Ce^(kt) donde C y k son parámetros que deben encontrarse con las condiciones iniciales del problema. Pero entendiéndose que para el caso de un decrecimiento k debe ser negativa.

En este video veremos como aplicar la ecuación dN/dt= kN a un problema de desintegración de una sustancia radioactiva. El problema nos dice que inicialmente teníamos 100mg de una sustancia, es decir que N en el tiempo cero es igual a 100mg, N(0)=100, luego nos dicen que al cabo de seis horas, la cantidad de la sustancia disminuye el 3%, es decir N(6)=97mg, la pregunta que nos hacen es: ¿ Qué pasa en el proceso cuando el tiempo transcurrido es de 2 horas? Sabíamos desde el video anterior que la ecuación dN/dt= kN se resuelve por el método de variables separables y que su solución es de la forma: N(t)=Ce^(Kt) donde c y k son parámetros que deben encontrarse haciendo uso de la condiciones iniciales que el problema nos da. 

Entonces para la condición inicial del problema tenemos: 100= Ce^[K(0)] , si despejamos a C de la ecuación vemos que el C adquiere el valor de C=100 ya que e^0=1, una vez obtenemos el valor de C aplicamos la otra condición que nos proporciona el problema para hallar el valor de K, necesariamente el valor de K nos debe dar un valor negativo ya que se trata de un problema de decrecimiento, si esto no sucede, nos indica que estamos efectuando alguna equivocación en nuestro procedimiento, entonces utilizando la otra condición que nos da el problema tenemos que: 97=100 e^[K(6)], si despejamos el valor de K en esta ecuación vemos que k adquiere el valor de K=-5.08x10^-3. Como ya encontramos los parámetros C y K podemos hallar lo que pasa con la sustancia al cabo de dos horas, vemos entonces que para un tiempo de 2 horas la ecuación queda N(2)=100 e^[-5.08x10^-3(2)], efectuando esta operación tenemos que N(2)=98.99mg, es decir en dos horas ha desaparecido aproximadamente el 1.01% de la sustancia.
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