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Problema de valor inicial y de valor en la frontera ED de orden superior

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Ejemplos de como resolver un problema de valor inicial y de valor en la frontera para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes.
Los ejemplos que se muestran en este video tutorial corresponden a ecuaciones de segundo orden pero el procedimiento bien aplica para ecuaciones diferenciales de orden superior.

En ambos ejemplos se muestra como encontrar los valores de los parámetros que hacen parte de la solución general de la ecuación.

En este video resolveremos problemas de valores iniciales y valores de frontera para ecuaciones diferenciales homogéneas de orden superior: El primer problema es el siguiente: Se tiene la siguiente ecuación diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes: y’’+16y=0 ,y nos dan a las siguientes condiciones de valores iniciales: y(0)=2, y’(0)=-2, es decir que la función evaluada en el punto cero es igual a dos y que la primera derivada de la función evaluada en cero es igual a menos dos. 

Para resolver el problema, lo primero que debemos hacer es plantear la ecuación auxiliar en términos de m, tenemos entonces que la ecuación auxiliar es: m^2+16=0, Una vez tenemos la ecuación auxiliar debemos hallar las raíces de la ecuación, como vemos esta ecuación se puede factorizar de la siguiente manera: (m+4i)(m-4i)=0, entonces la primera raíz de la ecuación es m1=-4i y la segunda raíz esm2=4i, como podemos observar estas raíces son diferentes e imaginarias por lo que la solución a la ecuación diferencial homogénea tiene la siguiente forma: YH= (e^αx)(C1cosβx+C2senβx)= [e^(0)(x)](C1cos4x+C2sen4x), como e^(0)(x) es igual a uno entonces nuestra solución es: (C1cos4x+C2sen4x). 

Ahora lo que nos interesa es encontrar el valor de las constantes C1 y C2, estas constantes pueden ser halladas utilizando las condiciones iniciales , podemos observar que para utilizar estas condiciones debemos hallar la derivada de la solución homogénea, entonces derivando dicha solución tenemos: YH’=-4C1sen4x+4C2cos4x, ahora evaluemos la primera condición que nos dice que cuando X vale cero la Y vale 2, entonces 2=C1cos0+C2sen0, es decir C1=2 ya que seno de cero es cero y coseno de cero es uno. Evaluando la segunda condición que nos dice que cuando se reemplaza a X por cero en la derivada de la solución la Y vale menos dos, entonces -2=-4C1sen0+4C2cos0, es decir que teniendo en cuenta que C1=2, la constante C2=-1/2. Teniendo en cuenta estos valores encontrados tenemos que la solución particular es: YH=2sen4x-(1/2)(sen4x).
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Gonzalo García dice:
Monday, May 28, 2018
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Diste la solución pero reemplazando los coeficientes c1=2 y c2=-1/2 en la derivada de yh, creo que te equivocaste

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