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Método reducción de orden

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Explicación detallada de como resolver una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden conocida una solución a través de una reducción de orden de la ecuación diferencial original.

En este tutorial se explica el método general de reducción de orden mostrando como llegar a una fórmula que nos permite para cualquier diferencial de la forma y'' + p(x)y' + q(x)y = 0.

Se parte del hecho que la primera solución y1 es conocida y que la segunda solución debe ser de la forma y2=u(x)y1 donde u(x) es una función que debe determinarse. Para ello se reduce a una ecuación diferencial homogénea de primer orden la ecuación diferencial original y se procede mediante separación de variables a resolver la ecuación diferencial reducida.

En este video veremos como conocida una solución a una ecuación diferencial homogénea de segundo orden se encuentra la segunda solución, recordemos que habíamos dicho que para una ecuación diferencial de grado N íbamos a tener un conjunto de soluciones Y1,Y2,…hasta Yn para la ecuación diferencial homogénea, entonces vamos a ver como hallar la solución particular una vez conocida la solución homogénea, este método se conoce como reducción de orden. Recordemos la forma general de una ecuación diferencial de segundo orden homogénea: a2(x)y’’+a1(x)y’+a0(x)y=0, supongamos que conocemos una solución y que la llamaremos como y1(x), con y1(x) distinta de cero. 

Entonces lo que nos proponemos es encontrar una segunda solución y2(x) en términos de y1(x), recordemos antes de esto que las soluciones y1 y y2 deben ser linealmente independientes es decir que y2(x) no debe ser igual a un múltiplo de y1(x), es decir que no se puede cumplir esta condición: y2(x)=Cy1(x), sin embargo lo que podríamos hacer es hallar una función de x que multiplique a y1(x), a esta función la llamaremos U(x), entonces la segunda solución se podría expresar de la siguiente manera:y2(x)=U(x)y1(x) 

Para encontrar la función U(x) lo primero que hacemos es reescribir la ecuación de segundo orden cuando dividimos por el término que acompaña la segunda derivada, tenemos entonces: (x)y’’+[a1(x)/a2(x)]y’+[a0(x)/a2(x])y=0 que tiene la forma de y’’+p(x)y’+q(x)y=0, luego decimos que la solución a esta ecuación es de la forma y2=Uy1 y procedemos a reemplazarla en la ecuación anterior, como vemos debemos hallar la segunda y primera derivada de la supuesta solución , una vez efectuadas estas derivadas, vemos que la ecuación adquiere la forma: [Uy1’’+2y1’U’+y1U’’]+p(x)Uy1’+p(x)y1U’+q(x)Uy1=0, simplificando esta ecuación y despejando a U llegamos a la siguiente expresión: U[y1’’+p(x)y1’+q(x)y1]+2y1’U’+y1’U’’+p(x)y1U’=0 , vemos que como habíamos dicho que y1 era solución de la ecuación homogénea lo que hay dentro del corchete es igual a cero, teniendo en cuenta esto obtenemos una ecuación diferencia más simple y que es la que puedo reducir de orden, en el video se muestra de manera más detallada como se realiza este procedimiento.
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