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La transformada de laplace (Definición)

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En muchas aplicaciones de la matemáticas avanzadas para ingeniería, y en nuestro caso las ecuaciones diferenciales, se hace necesario conocer como encontrar la transforma de laplace de una función. Es por eso que este video responde a esa pregunta mostrando como la transformada de laplace puede encontrarse a partir de su definición como una integral impropia que se calcula mediante el uso de un límite infinito
Dentro de las propiedades más importantes de esta transformación es la linealidad ya que al ser una integral esta propiedad se hereda. Y en este tutorial se habla acerca de ello pero sin ir detalles formales.

En este video veremos el concepto de transformada de Laplace. La transformada de Laplace por definición es una integral que va desde menos infinito a más infinito y que tiene la siguiente forma: L[f(t)]=∫(e^-st)f(t)dt,evaluada entre cero e infinito, lo que nos dice esta expresión es que si yo tengo una función del tiempo, esta es igual a la integral desde menos infinito a más infinito de e elevado a la menos s por t que multiplica a una función variante de t, cuando resolvemos esta integral pasamos de una función que está en términos del tiempo t a una función que está en términos de s, de hecho, decimos que vamos a pasar de f(t)→F(s). 

La trasformada de Laplace se usa continuamente para resolver ecuaciones diferenciales de funciones continuas a tramos: Debido a que la trasformada de Laplace es una integral, esta cumple con las propiedades de linealidad que tienen las integrales, para ver estas propiedades veremos un ejemplo: Nos dicen que hallemos la trasformada de Laplace de la siguiente función: L[sen(4t)-2t^3], entonces podemos decir que la transformada de Laplace de Laplace de esta función es: : L[sen(4t)-2t^3]=L[sen(4t)]-2L[t^3] , como vemos podemos sacar las constantes de la trasformada y distribuir las sumas o restas. 

Veamos un ejemplo de cómo aplicar la transformada de Laplace a un problema sencillo, el problema es el siguiente: Halle la trasformada de Laplace para la siguiente función: f(t)=t, entonces aplicando la definición tenemos que la transformada de esta función es: L[t]= ∫(e^-st)tdt, vemos que el problema se reduce ahora a un problema de cálculo integral debido a que lo que tenemos que hacer es resolver la integral. Para resolver esta integral la escribiremos como un límite, tenemos entonces que: L[t]=lim(p→∞)⁡∫(e^-st)tdt calculando la integral tenemos: ∫(e^-st)tdt=[(e^-st)/-s](t)- [(e^-st)/-s^2] evaluando entre cero y p, evaluando la integral y luego sacando el limite, llegamos a que la solución es: L[t]=1/s^2.
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