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La función gamma y su propiedad de recurrencia (demostración)

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Definición de la función gamma de euler y demostración de dos propiedades fundamentales conocidas como las propiedades de recurrencia.

La primera propiedad que se demuestra es que gamma de a+1 es a veces gamma de a. Para esta demostración se hace uso de la definición y de la integración por partes.

La segunda propiedad establece que gamma de n+1, siendo n entero, es igual a n! (n factorial). Se hace un raciocinio deductivo que no constituye una prueba formal. Por esta propiedad se conoce a la función gamma como la función factorial generalizada

En este video veremos una función muy especial en matemáticas avanzadas conocida como la función gamma de Euler. A continuación definiremos la función gamma y algunas de sus propiedades más importantes, la función gamma se define matemáticamente de la siguiente manera: Γ(α)=∫t^(α-1) (e^(-t) )dt,evaluada entre cero y más infinito, sus propiedades más importantes son las siguientes: la propiedad número uno es: 1) Γ(α+1)=αΓ(α), la propiedad número dos es:2) Γ(n+1)=n! (siempre y cuando n pertenezca a los enteros positivos) y la propiedad número tres es: 3) Γ(1/2)=√π . 

Veremos a continuación las demostraciones de las propiedades 1) y 2) basándonos en la misma definición de la función gamma. Para demostrar la propiedad 1) vemos que aplicando la definición de la función gamma para la función Γ (α+1), tenemos que: Γ (α+1)= ∫t^(α+1-1) (e^(-t) )dt = ∫t^α (e^(-t) )dt, entonces el siguiente paso es resolver esta integral, para ello la reescribiremos usando el concepto de límite, tenemos entonces que: lim(p→∞)⁡∫t^α (e^(-t) )dt, con la integral evaluada entre cero y p, si resolvemos la integral como una integral por partes donde hacemos u=t^α con lo que du= αt^(α-1) y dv=e^(-t) dt, con lo que es igual a v= -e^(-t), si reemplazamos estas sustituciones y luego hallamos el límite del resultado de la integral se llega a que Γ(α+1)=αΓ(α), en el video se muestra de manera detallada los procedimientos para resolver la integral y luego hallar el límite de la función resultante. 

Para demostrar la segunda propiedad recurrimos a la primera propiedad, tenemos que: Γ(2)=Γ(1+1)=1Γ(1)=1, ya que se había demostrado anteriormente que Γ(1)=1, tenemos que Γ(3)=Γ(2+1)=2Γ(2)=2(1), tenemos también que Γ(4)=Γ(3+1)=3Γ(3)=3(2)(1), vemos que si seguimos sucesivamente lo que tenemos es la definición de la segunda propiedad, es decir que Γ(n+1)=n!, que era lo que queríamos demostrar.
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