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Introduccion series de potencias y Ecuaciones Diferenciales

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La gran mayoría de problemas de ingeniería y otras ciencias donde aparecen las ecuaciones diferenciales lineales para ayudarnos a resolvernos presentan modelos cuyos coeficientes son variables y no constantes. En lugar de números frente a las derivadas y la función vamos a tener funciones.

La solución de este tipo de ecuaciones se hace mediante el uso de series de potencias donde lo que debe determinarse son los coeficientes que acompañan a las potencias de la variable independiente.

Este video es una introducción a las primeras consideraciones que deben tenerse a la hora de solucionar una ecuación diferencial lineal con coeficientes variables mediante el uso de series, introduciendo el concepto de punto singular y punto ordinario.

Hasta ahora hemos visto en los videos anteriores como resolver ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden o superiores con coeficientes constantes , sin embargo en la mayoría de las aplicaciones de ingeniería se tienen ecuaciones diferenciales con coeficientes variables, es decir donde los coeficientes no son números sino que son funciones. Este tipo de ecuaciones se pueden escribir o representar de la siguiente manera: y’’+p(x)y’+q(x)y= 0, si tenemos que los coeficientes son funciones de x veremos que este tipo de problemas se podrán resolver utilizando series de potencia, donde la solución de la ecuación diferencial tiene la siguiente naturaleza: y =∑cn(x-a)^n, entonces lo que tratamos de decir es, que para hallar la solución de la ecuación diferencial es necesario hallar los coeficientes de cn de la sumatoria. 

Antes de enunciar como se resuelven este tipo de ecuaciones hagamos un pequeño repaso de series, si tenemos una ecuación de este tipo y =∑cn(x)^n donde a=0 decimos que es una serie centrada en cero y que posee la ventaja de que son más fáciles de manipular que las centradas en a, debido a esto asumiremos que la ecuación diferencial presenta este tipo de solución y procederemos a hallar los coeficientes cn, decimos además, que la serie es convergente para los x entre estos rangos de valores a-Ra+R donde R se calcula de la siguiente manera R=lim(n→∞)|(cn/(cn+1))|. R puede tomar tres tipos de valores, R puede igual a cero, puede ser mayor que cero o puede tender a infinito, si R es igual a cero vemos que el intervalo de convergencia para la serie es el punto a, si R es mayor que cero tendremos un intervalo de convergencia y si R tiene a infinito vemos que x puede tomar cualquier valor para que la serie converja. En el video se muestra de manera detallada el procedimiento para resolver ecuaciones diferenciales utilizando los conceptos ya mencionados.
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