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Ejemplo transformada de laplace función a tramos

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Se encuentra la transformada de laplace mediante definición de la función a tramos f(t) = -1 si t es menor que 2 y f(t) = -5t^2+5t+4 para t mayor o igual a 2.
La transformada de laplace al ser una integral definida nos permite ser calculada mediante una suma de integrales para el caso de una función a tramos.

En este problema en particular se presentaron dos dificultades a la hora de calcular las integrales. Una debido a que se tuvo que hacer uso de la integración por partes con recurrencia y la segunda encontrar el límite de un polinomio de t sobre una función exponencial en t cuando la t tiende a infinito (para lo cual se muestra que el límite siempre es cero).

En este video resolveremos un problema de transformada de Laplace para una función por tramos utilizando la definición de trasformada de Laplace, el problema es el siguiente: Halle la transformada de Laplace para la función a tramos definida de la siguiente manera: tramos f(t) = -1 si t es menor que 2 y f(t) = -5t^2+5t+4 para t mayor o igual a 2. Para resolver este problema, recordemos primero la definición de transformada de Laplace para una función cualquiera: L[f(t)]=∫(e^(-st) )f(t)dt, como en este caso tenemos que la función, es una función a tramos, lo que debemos hacer es hallar la integral de cada tramo individualmente y luego sumar los resultados de las integrales , teniendo en cuenta lo anterior, tenemos entonces, que la trasformada de Laplace para la función del problema se puede hallar de la siguiente manera: L[f(t)]=∫(e^(-st) )(-1)dt+∫(e^(-st) )(-5t^2+5t+4 )dt, en donde la primera integral se evalúa entre cero y dos y la segunda integral se evalúa entre dos y más infinito. 

Resolviendo la primera integral, tenemos lo siguiente: ∫(e^(-st) )(-1)dt=[(e^-st)/s], evaluando entre cero y dos tenemos que: ∫(e^(-st) )(-1)dt=[(e^-2s)]/s-(1/s). Una vez encontrada la solución de la primera integral, procedemos a hacer la segunda integral:∫(e^(-st) )(-5t^2+5t+4 )dt, como vemos esta integral es mucho más compleja que la primera y se resuelve por integración por partes con recurrencia, una vez se halla la solución de esta integral, vemos que la transformada de Laplace para la función por tramos es igual a: L[f(t)]= [(e^-2s)]/s-(1/s)-6[(e^-2s)/s]-15[(e^-2s)/s^2]-10[(e^-2s)/s^3], como vemos la trasformada es igual a la suma de las dos integrales como ya se había dicho. En el video se muestra de manera detallada como se efectúa la segunda integral y como se evalúan los límites del resultado para legar a la solución deseada.
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