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Ecuaciones lineales de orden superior (teoría solución)

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Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior se pueden clasificar en homogéneas (igual a cero) y no homogéneas (igual a una función de x). En este tutorial se explica este concepto y como se relaciona la solución de una ED homogénea con la de una ED No homogénea. Para ello se explica primero el principio de superposición que permite conocidas n soluciones linealmente independiente para una ED Lineal homogénea de orden n encontrar su solución general. Luego se procede a establecer que la solución a la no homogénea es la suma de la solución general de la homogénea más una solución particular

En este video veremos los conceptos fundamentales sobre las soluciones para ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Como sabemos una ecuación diferencial lineal de orden superior tiene la siguiente forma: an(x)(y´N)+an-1(x)(y’N-1)+…a1(x)(y’)+a0(x)(y)= g(x), cada vez que nos den este tipo de ecuación vamos a tratarla de partirla en dos, en una de las partes tomamos el término de la izquierda y lo igualamos a cero, es decir: an(x)(y´N)+an-1(x)(y’N-1)+…a1(x)(y’)+a0(x)(y)=0, a esta parte de la ecuación igualada a cero se le conoce como ecuación diferencial homogénea, la otra parte es la ecuación diferencial como tal, es decir: an(x)(y´N)+an-1(x)(y’N-1)+…a1(x)(y’)+a0(x)(y)= g(x), a esta parte de la ecuación diferencial se le conoce como ecuación diferencial no homogénea. Teniendo en cuenta lo anterior decimos que la solución general de este tipo de ecuaciones consta de una solución de la parte homogénea y de una solución particular de la parte no homogénea, es decir: Y=YH+YP. 

La solución de la ecuación diferencial homogénea depende del grado de la derivada, es decir si en nuestra ecuación diferencial el mayor grado de la derivada es dos, la solución de la ecuación homogénea asociada tendrá dos resultados Y1 y Y2 y su solución estará representada como YH=C1Y1+C2Y2, siempre y cuando Y1 y Y2 sean linealmente independientes, es decir que sean diferentes. La solución de la ecuación diferencial no homogénea se estudiara en los siguientes videos, ya que para llegar a su solución se necesitan de métodos definidos. Vemos entonces que la solución para el caso de la ecuación diferencial donde el grado de la derivada es dos, debe tener la siguiente forma de solución: Y=YH´+YP= C1Y1+C2Y2+YP.
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