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Ecuación integrodiferencial - circuito LRC parte1

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Primera parte: Solución de una ecuación integrodiferencial mediante el uso de la transformada de laplace.

En este video tutorial se muestra como resolver una ecuación integrodiferencial que modela el comportamiento de un circuito en serie LRC donde la función de corriente debe ser hallada.

Este ejemplo en particular aborda varios conceptos clave del estudio de la transformada de laplace para resolver ecuaciones diferenciales ya que a parte de contener una integral, la función de salida es es una función a tramos que debe expresarse en forma compacta mediante el uso de la función escalón unitario

En este video veremos un problema de circuitos y aprenderemos a resolver una ecuación integrodiferencial usando las transformadas de Laplace. El problema es el siguiente: Se da un circuito en serie LRC donde la corriente en el tiempo cero es cero i(0)=0 y nos piden hallar una expresión para encontrar la corriente en un determinado instante de tiempo, es decir hallar i(t), teniendo en cuenta que los valores del inductor, de la resistencia y del capacitor son: L=1h, R=2Ω, c=0.5f respectivamente. Además el problema nos da el voltaje aplicado sobre el circuito, este voltaje está definido como una función a tramos, es decir el voltaje es una función definido se la siguiente manera: E(t) toma el valor de 5V para valores de t entre 0≤t<1 y la función E(t) toma el valor de cero para valores de t>1. 

Sabemos que las caídas de voltaje a través de cada uno de los elementos del circuito se definen de la siguiente manera, para el inductor la caída de voltaje es: L(di/dt), para la resistencia la caída de voltaje es: Ri y para el capacitor, la caída de voltaje es: (1/C)∫i(τ)dτ, con la integral evaluada entre cero y t. Sabiendo todo esto lo que debemos hacer para resolver este problema es hacer uso de la segunda ley de kirchhoff que establece que la suma de caída de voltajes en los elementos del circuito es igual al voltaje aplicado, entonces usando la ley de Kirchhoff tenemos la siguiente ecuación: L(di/dt)+ Ri+(1/C)∫i(τ)dτ =E(t), esta ecuación es lo que conocemos como una ecuación integrodiferencial debido a que como se puede observar posee una integral y una derivada en su expresión, entonces para resolver esta ecuación utilizando transformadas de Laplace lo que debemos hacer es sustituir los valores que nos da el problema, y además, hallar una función que exprese E(t) de manera compacta . En el video se muestra de manera detallada estos procedimientos y como llegan a la solución siguiendo los pasos vistos en los videos anteriores.
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