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Ecuación diferencial de un circuito RL

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Un circuito en serie tiene un resistor y un inductor. Determine una ecuacion diferencia para la corriente i(t) si la resistencia es R,la inductancia es L y el voltaje aplicado E(t)

En este video deduciremos el modelo matemático para un circuito en serie que tiene un resistor y un inductor, entonces lo que debemos hacer es hallar una ecuación diferencial para la corriente i(t) si la resistencia es R, la inductancia es L y el voltaje aplicado E(t). Para resolver el problema debemos recordar que la segunda ley de kirchhoff nos dice que la suma de caídas de voltaje a través del inductor y el resistor es igual al voltaje aplicado, matemáticamente: E(t)=L(di/dt)+Ri ó E(t)=Li’+Ri(t), esta es la ecuación diferencial que describe un circuito en serie que posee un inductor y un resistor . 

Aunque era esto lo que nos pedía el problema, vayamos más allá y resolvamos esta ecuación diferencial, reorganizando esta ecuación de una manera conveniente, tenemos: L(di/dt)+Ri=E(t), ahora dividimos ambos lados de la ecuación por L, para llevar la ecuación a una manera más conveniente, entonces tenemos: (di/dt)+(R/L)i=E(t)/L, esta ecuación diferencial se resuelve multiplicando por un factor integrante, del cual habíamos hablado en los videos anteriores, para esta ecuación tenemos que nuestro factor integrante es: e^∫(R/L)dt, resolviendo la integral, vemos que el factor integrante es e^(R/L)t, una vez hallado el factor integrante multiplicamos la ecuación por este factor, tenemos entonces: e^(R/L)t[(di/dt)+(R/L)i]= e^(R/L)t[E(t)/L] como vemos el lado izquierdo de la ecuación es la derivada con respecto a t de la multiplicación del factor integrante por i, sabiendo esto entonces la ecuación adquiere la siguiente forma: (d/dt)[(e^(R/L)t)(i)]= e^(R/L)t[E(t)/L], para resolver esta expresión simplemente integramos a ambos lados de la igualdad y luego despejamos a i obteniendo así la solución a la ecuación diferencial, tenemos entonces que la expresión para la corriente en función del tiempo es: i(t)= e^(-R/L)∫{[ e^(R/L)t][(E(t) ]dt}+Ce^(R/L)t. En video se muestra como se aplica este método para solucionar un circuito en serie con datos numéricos.
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