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Ecuación diferencial de Clairaut

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Método para solucionar la ecuación diferencial de primer orden conocida como la ecuación de Clairaut

Esta ecuación llamada así en honor al matemático frances Alexis Clairaut quien fue el primero en estudiarla se resuelve mediante una sustitución simple p=dy/dx donde p es una función a encontrar para sustituir en la ecuación original y resolverla. 

Lo interesante de esta ecuación diferencial es que tiene una familia de soluciones (solución general) y una solución singular (solución que no pertenece a la familia de soluciones).

Se plantea la solución a la ecuación general y se tiene un ejemplo resuelto de un caso particular

En este video vamos a estudiar una ecuación diferencial especial conocida como la ecuación diferencial de Clairaut. Esta ecuación es llamada así en honor al matemático francés Alexis Clairaut quien fue el primero en estudiar este tipo de ecuación diferencial, esta ecuación tiene la siguiente forma: y(x)= x(dy/dx)+f(dy/dx), podemos observar que en esta ecuación es una ecuación diferencial lineal. Para resolver esta ecuación realizaremos la siguiente sustitución, vamos a decir que p=dy/dx por lo que la ecuación de Clairaut adquiere la siguiente forma: y=xp+f(p), una vez tengamos expresada la ecuación en estos términos se procede a derivar a ambos lados de la ecuación con respecto a x, la derivada con respecto a x de la ecuación queda entonces como: dy/dx=x(dp/dx)+p+f’(p)(dp/dx), vemos que en esta ecuación volvemos a tener el término dy/dx y habíamos dicho que este término era igual a p, si volvemos a reemplazar la ecuación adquiere la siguiente forma: p= xp’+p+f’(p)p’, que es lo mismo que 0=xp’+f’(x)p’, si sacamos factor común a p’ tenemos:p’[x+f’(x)]=0. 

Si tenemos un producto que es igual a cero, cada uno de los factores puede ser igual a cero, entonces decimos que p’=0 ó que [x+f’(p)]=0, vemos que si p’=0, p necesariamente debe ser una constante c, es decir p=c debido a que si la derivada de p es igual a cero p necesariamente debe ser una constante. Teniendo en cuenta lo anterior vemos que si reemplazamos este resultado, obtenemos la solución general de la ecuación diferencial, entonces: y=cx+f(c). Cuando utilizamos la otra condición, es decir cuando [x+f’(p)]=0 obtenemos la solución particular de la ecuación diferencial, esta solución es diferente para cada problema ya que como se ve depende de la función de p, es decir depende de que valor adquiera f(p). En el video se muestra como se resuelve un ejemplo para un caso particular.
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